Bonjour,

La technique de comparaison d'une série et d'une intégrale devrait te conduire au résultat.

Bonjour, non tu ne peux pas y arriver comme ça.

Utilise la fonction f(x) = 1/(x²+1) ta somme représente la somme des aires des rectangles sous la courbe.

utilise l'intégrale de f(x) pour majorer et minorer ta somme.
(pour minorer pense que si tu pousses les rectangles de 1, ils deviennent des majorants)

J'admet ne pas trop comprendre ce que vous voulez dire
Une primitive de serait mais que faire après ?

Bonjour,

En complément à ce qu'a dit Glapion, Tu peux utiliser la fonction ta somme représente la somme des aires des rectangles au dessus de la courbe.

Sur chaque intervalle [k, k+1] tu as
1/((k+1)²+1)≤1/(x²+1)≤1/(k²+1)
Intègre cette inégalité sur [k, k+1] (tu as la bonne primitive, à droite et à gauche tu as des constantes), puis somme pour k variant ce qu'il faut. Applique ce premier encadrement à n et n+1 pour obtenir l'encadrement voulu.

Tu es sûr de vouloir calculer la limite ou tu veux juste un encadrement ?
Parce que la limite ressemble beaucoup à un développement en fractions partielles de la cotangente

Bonjour
Le dessin de Glapion montre clairement qu'on peut majorer u_n par une intégrale convergente. Comme cette suite est croissante, cela prouve déjà sa convergence et donne un majorant de la limite.
En mettant les rectangles au-dessus de la courbe, on obtiendrait de même une minoration de la limite.
D'où un encadrement de la limite par deux nombres fixes, mais je ne vois pas comment on pourrait trouver la limite elle-même.
Par ailleurs, pour prouver la convergence, on peut aussi voir la suite comme la somme partielle d'une série convergente car son terme général, positif, est équivalent à 1/n^2.

Rebonjour

Dans mon souvenir, on sommait de telles séries en utilisant  le théorème de Parseval, dans le cours sur les séries de Fourier..

Je pensais aussi à utiliser un truc du style séries de Fourier, sinon:

Il vaut mieux utiliser le résidu de en

On peut aussi tenter un prolongement analytique ou bien réussir à invoquer Liouville en étudiant la fonction holomorphe définie par cette même somme en remplacent 1 par pour montrer l'égalité avec ^^'

* en commençant à sommer à partir de n=0

edit : enfin la série plutôt que "somme"

salut

merci Razes : j'avais pensé à cette décomposition en éléments simples dans C ... mais je ne savais pas quoi en faire ...

donc merci pour la direction à prendre (les séries de Fourier ...


d'autre part pour la convergence pas besoin de chercher midi à 14 h :

qui est intégrable sur [1, +oo[ ...

on a même

qui devrait permettre d'obtenir que

Bonsoir,

@carpediem, pas de quoi ; c'étaient une indication seulement.

Nous avons en utilisant les séries de Fourier:  

On peut voir que pour ou , nous avons des séries qui ressemblent à ce qu'on cherche. Donc, une combinaison de et (qui aboutira à une fonction connue), puis en choisissant une valeur adéquate de pour se débarrasser de , on obtiendras ce qu'on cherche. (j'ai déjà fait le calcul).