Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Prepa (autre)
Partager :

Limite d'une suite

Posté par
Crei 10-01-23 à 08:58

Bonjour , Besoin d'aide , j'ai montrer l'existence de la limite avec l theo de la limite monotone mais je n'arrive pas à montrer cette question

(q_{n}):\begin{cases}& q_{0}=\delta  \\ & q_{n+1}=q_{n}^2-2 \end{cases}

Avec \delta strictement superieur à2

Soit P_{n}=\sum_{m=0}^{n}{\frac{1}{\prod_{k=0}^{m}{q_{k}}}}

Montrer que P_{n}\rightarrow \frac{1}{2}\left(\delta -\sqrt{\delta ^2-4} \right)

Posté par
Ulmierere : Limite d'une suite 10-01-23 à 10:47

Montre par récurrence que q est positive.
Ensuite, montre que q est une suite croissante en étudiant le signe de q_{n+1}-q_n, ça devrait te mettre la puce à l'oreille pour la limite qui t'es demandée

Posté par
Creire : Limite d'une suite 10-01-23 à 11:09

Ulmiere @ 10-01-2023 à 10:47

Montre par récurrence que q est positive.
Ensuite, montre que q est une suite croissante en étudiant le signe de q_{n+1}-q_n, ça devrait te mettre la puce à l'oreille pour la limite qui t'es demandée

Je l'ai dejà fait comme preciser, mais franchement j'ai besoin de plus d'indice

Posté par
Ulmierere : Limite d'une suite 10-01-23 à 11:15

Est-ce que tu as compris d'où sortait cette histoire de \dfrac{\delta - \sqrt{\delta^2-4}}{2} ?

Posté par
Creire : Limite d'une suite 10-01-23 à 12:40

Ulmiere @ 10-01-2023 à 11:15

Est-ce que tu as compris d'où sortait cette histoire de \dfrac{\delta - \sqrt{\delta^2-4}}{2} ?

Non
Je pensais å la focntion associée mais lorsque je montrais l'existence de la limite j'ai pas vu le delta, pourtant le discriminant y resemble

X2-X+2=0

Posté par
Ulmierere : Limite d'une suite 10-01-23 à 18:21

Si tu remplaces le 2 par un 1, ce sera le bon discriminant.

En gros, si tu montres que P_n tend vers le plus petit zéro du polynôme X^2-\deltaX+1 (qui en a effectivement 2 parce que \delta > 2 \implies \delta^2-4 > 0), ce sera bon.

Ca peut passer par calculer P_n^2 - \delta P_n + 1 si tu y arrives. Sans doute en remarquant que \delta P_n = 1 + \sum_{m=1}^n  \dfrac1{\prod_{k=1}^m q_k}} (remarque que le +1 qui traine devant va sauter en calculant -\delta P_n + 1) et en faisant un changement de variable dans le produit pour faire apparaître q_{k+1} ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Limite d'une suite 11-01-23 à 00:12

Bonsoir

Une idée :

D'une part on a pour tout entier n\geqslant0 ,

\Large\boxed{2P_n=\sum_{m=0}^n\frac{2}{\prod_{k=0}^mq_k}=\sum_{m=0}^n\frac{q_m^2-q_{m+1}}{\prod_{k=0}^mq_k}=\sum_{m=0}^n\frac{q_m^2}{\prod_{k=0}^mq_k}-\frac{q_{m+1}^2}{\prod_{k=0}^{m+1}q_k}=\delta-\frac{q_{n+1}^2}{\prod_{k=0}^{n+1}q_k}=\delta-\frac{q_{n+1}}{\prod_{k=0}^nq_k}}

et d'une autre part on a pour tout entier k\geqslant1 ,

\Large\boxed{q_{k+1}-2=q_k^2-4} et donc \Large\boxed{q_{k+1}-2=(q_k-2)(q_k+2)=(q_k-2)q_{k-1}^2}

d'où pour tout entier n\geqslant0 ,

\Large\boxed{\prod_{k=1}^{n+1}\frac{1}{q_{k-1}}=\sqrt{\prod_{k=1}^{n+1}\frac{q_k-2}{q_{k+1}-2}}} et donc \Large\boxed{\prod_{k=0}^n\frac{1}{q_k}=\sqrt{\frac{q_1-2}{q_{n+2}-2}}=\frac{\sqrt{\delta^2-4}}{\sqrt{q_{n+1}^2-4}}}

et ainsi on voit que pour tout entier n\geqslant0 ,

\Large\boxed{2P_n=\delta-\frac{q_{n+1}\sqrt{\delta^2-4}}{\sqrt{q_{n+1}^2-4}}} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Ulmierere : Limite d'une suite 11-01-23 à 01:08

Ça fonctionne. Il reste une ultime étape qui consiste à donner un équivalent du second terme (non nul) pour en déduire la limite des P_n

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Limite d'une suite 11-01-23 à 16:49

Pas besoin d'un équivalent la suite (q_n) est croissante et non convergente

donc diverge vers +\infty d'où la limite souhaitée pour la suite (P_n)

Posté par
Ulmierere : Limite d'une suite 11-01-23 à 17:25

Ben il y a quand même deux tous petits points de détail à préciser au niveau prépa

1) q est effectivement non bornée. Si ce n'était pas le cas, elle convergerait puisqu'elle est croissante et la limite serait solution de x^2-x-2 = 0. Mais x^2-x-2 = (x-2)(x+1). Impossible car la limite de la suite est aussi son sup, donc minorée par delta > 2 !

2) \dfrac{q_{n+1}}{\sqrt{q_{n+1}^2-4}} = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{4}{q_{n+1}^2}}} tend vers 1 pour n'importe quelle suite q qui tend vers l'infini, quelle que soit la vitesse de convergence

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Limite d'une suite 11-01-23 à 22:41

Oui Ulmiere c'est tout à fait ça !

J'avais intentionnellement laissé ces points de détail à Crei pour qu'il achève son exercice.

Mais bon il en a maintenant un corrigé complet

Posté par
jandri Correcteurre : Limite d'une suite 12-01-23 à 09:32

Bonjour,

c'est un exercice (relativement) classique. En posant \delta=2\cosh(a) on obtient :

q_n=2\cosh(2^na) (par récurrence)

puis q_0q_1\dots q_n=\dfrac{\sinh(2^{n+1}a)}{\sinh(a)} (par récurrence)

puis enfin P_n=\sinh(a)\left(\dfrac1{\tanh(a)}-\dfrac1{\tanh(2^{n+1}a)}\right) (par récurrence) en utilisant \dfrac1{\sinh(2a)}=\dfrac1{\tanh(a)}-\dfrac1{\tanh(2a)}

Cela fournit la limite de P_n.

Posté par
Ulmierere : Limite d'une suite 12-01-23 à 12:39

Voici une vraie fausse preuve. Ton résultat jandri, nous dit que q est prolongeable en une fonction continue, et même C-infini sur R+.


La relation qui définit la fonction q s'écrit aussi

(q + 2id)\circ \theta = q^2 + 2id = q(q-1) + (q+2id), où \theta = x\mapsto x+1 est le shift habituel.

Donc (q+2id)\circ (\theta -id) = q(q-1)
Donc pour tout x, \delta^2 = q(1)+2 = q(x)(q(x)-1)

Donc q est à valeurs dans l'ensemble des zéros de de X^2 - X -\delta^2, de discriminant 1 + (2\delta)^2 > 1

Comme q est à valeurs strictement positives, on a forcément q constante et \delta = q = \dfrac{1 + \sqrt{1 + 4\delta^2}}{2}\quad (*)


Donc P_n = \sum_{m=0}^n (1/\delta)^{m+1} = 1/\delta \dfrac{\delta^{-(n+1)}-1}{\delta^{-1}-1} = \dfrac{1-\delta^{-(n+1)}}{\delta-1} tend vers \dfrac{1}{\delta - 1}

Or, d'après (\ast), on a forcément \delta = 0, donc \delta - \sqrt{\delta^2-4} = \pm 2i.
Donc P_n tend vers -1 = \dfrac{1}{0-1}.

D'autre part, en faisant faire une rotation d'angle \pm\pi/2 dans le sens indirect au plan, ce qui est un homéomorphisme, on peut identifier 1 à \pm i. Ainsi, on a bien \dfrac{\delta - \sqrt{\delta^2-4}}{2} = \pm i = -1 et donc le résultat sur la convergence de P_n est démontré



Maintenant faut que je m'attaque à la conjecture de Syracuse, c'est fastoche

Posté par
Rintarore : Limite d'une suite 12-01-23 à 17:28

Bonsoir,

et qu'en est-il de Crei dont on ne saura jamais, avec toutes vos rédactions, s'il a bien compris l'exercice ? Quel dommage de tout faire à sa place.

Bonne journée.

Posté par
lakere : Limite d'une suite 12-01-23 à 18:50

Bonsoir Rintaro,
De mon point de vue il n'y a aucun "dommage" au contraire :
Je vois ici des solutions originales qui me ravissent !
Merci elhor_abdelali
En l'occurrence, les grincheux n'ont pas grand chose à dire . . .

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Limite d'une suite 12-01-23 à 20:39

Merci à toi lake !

Posté par
Creire : Limite d'une suite 13-01-23 à 00:11

elhor_abdelali @ 11-01-2023 à 22:41

Oui Ulmiere c'est tout à fait ça !

J'avais intentionnellement laissé ces points de détail à Crei pour qu'il achève son exercice.

Mais bon il en a maintenant un corrigé complet


Bonsoir  desolé pour l'abandon, merci pour l'aide

Posté par
Creire : Limite d'une suite 13-01-23 à 00:13

Rintaro @ 12-01-2023 à 17:28

Bonsoir,

et qu'en est-il de Crei dont on ne saura jamais, avec toutes vos rédactions, s'il a bien compris l'exercice ? Quel dommage de tout faire à sa place.

Bonne journée.

Souvent meme les corrections sont des exercices

Posté par
Creire : Limite d'une suite 13-01-23 à 00:14

elhor_abdelali @ 11-01-2023 à 00:12

Bonsoir

Une idée :

D'une part on a pour tout entier n\geqslant0 ,

\Large\boxed{2P_n=\sum_{m=0}^n\frac{2}{\prod_{k=0}^mq_k}=\sum_{m=0}^n\frac{q_m^2-q_{m+1}}{\prod_{k=0}^mq_k}=\sum_{m=0}^n\frac{q_m^2}{\prod_{k=0}^mq_k}-\frac{q_{m+1}^2}{\prod_{k=0}^{m+1}q_k}=\delta-\frac{q_{n+1}^2}{\prod_{k=0}^{n+1}q_k}=\delta-\frac{q_{n+1}}{\prod_{k=0}^nq_k}}

et d'une autre part on a pour tout entier k\geqslant1 ,

\Large\boxed{q_{k+1}-2=q_k^2-4} et donc \Large\boxed{q_{k+1}-2=(q_k-2)(q_k+2)=(q_k-2)q_{k-1}^2}

d'où pour tout entier n\geqslant0 ,

\Large\boxed{\prod_{k=1}^{n+1}\frac{1}{q_{k-1}}=\sqrt{\prod_{k=1}^{n+1}\frac{q_k-2}{q_{k+1}-2}}} et donc \Large\boxed{\prod_{k=0}^n\frac{1}{q_k}=\sqrt{\frac{q_1-2}{q_{n+2}-2}}=\frac{\sqrt{\delta^2-4}}{\sqrt{q_{n+1}^2-4}}}

et ainsi on voit que pour tout entier n\geqslant0 ,

\Large\boxed{2P_n=\delta-\frac{q_{n+1}\sqrt{\delta^2-4}}{\sqrt{q_{n+1}^2-4}}} sauf erreur de ma part bien entendu


Merci à vous aussi, j'ai mis un bout de temps à comprendre les differents calculs ici

Posté par
Creire : Limite d'une suite 13-01-23 à 00:16

Ulmiere @ 12-01-2023 à 12:39

Voici une vraie fausse preuve. Ton résultat jandri, nous dit que q est prolongeable en une fonction continue, et même C-infini sur R+.


La relation qui définit la fonction q s'écrit aussi

(q + 2id)\circ \theta = q^2 + 2id = q(q-1) + (q+2id), où \theta = x\mapsto x+1 est le shift habituel.

Donc (q+2id)\circ (\theta -id) = q(q-1)
Donc pour tout x, \delta^2 = q(1)+2 = q(x)(q(x)-1)

Donc q est à valeurs dans l'ensemble des zéros de de X^2 - X -\delta^2, de discriminant 1 + (2\delta)^2 > 1

Comme q est à valeurs strictement positives, on a forcément q constante et \delta = q = \dfrac{1 + \sqrt{1 + 4\delta^2}}{2}\quad (*)


Donc P_n = \sum_{m=0}^n (1/\delta)^{m+1} = 1/\delta \dfrac{\delta^{-(n+1)}-1}{\delta^{-1}-1} = \dfrac{1-\delta^{-(n+1)}}{\delta-1} tend vers \dfrac{1}{\delta - 1}

Or, d'après (\ast), on a forcément \delta = 0, donc \delta - \sqrt{\delta^2-4} = \pm 2i.
Donc P_n tend vers -1 = \dfrac{1}{0-1}.

D'autre part, en faisant faire une rotation d'angle \pm\pi/2 dans le sens indirect au plan, ce qui est un homéomorphisme, on peut identifier 1 à \pm i. Ainsi, on a bien \dfrac{\delta - \sqrt{\delta^2-4}}{2} = \pm i = -1 et donc le résultat sur la convergence de P_n est démontré



Maintenant faut que je m'attaque à la conjecture de Syracuse,
elhor_abdelali @ 11-01-2023 à 16:49

Pas besoin d'un équivalent la suite (q_n) est croissante et non convergente

donc diverge vers +\infty d'où la limite souhaitée pour la suite (P_n)
c
'est fastoche


Je vais tenter de comprendre les autres demonstration

Posté par
Rintarore : Limite d'une suite 13-01-23 à 09:52

Bonjour lake,

tu y vas un peu fort je trouve pour ce terme "grincheux", non ? [blank] dommage que cette commande ne fonctionne pas ici [\blank].

Quoi qu'il en soit, heureux de voir Crei satisfait, c'est avant tout le but du forum .

Bonne journée

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Limite d'une suite 13-01-23 à 11:19

Crei @ 13-01-2023 à 00:14

elhor_abdelali @ 11-01-2023 à 00:12

Bonsoir

Une idée :

D'une part on a pour tout entier n\geqslant0 ,

\Large\boxed{2P_n=\sum_{m=0}^n\frac{2}{\prod_{k=0}^mq_k}=\sum_{m=0}^n\frac{q_m^2-q_{m+1}}{\prod_{k=0}^mq_k}=\sum_{m=0}^n\frac{q_m^2}{\prod_{k=0}^mq_k}-\frac{q_{m+1}^2}{\prod_{k=0}^{m+1}q_k}=\delta-\frac{q_{n+1}^2}{\prod_{k=0}^{n+1}q_k}=\delta-\frac{q_{n+1}}{\prod_{k=0}^nq_k}}

et d'une autre part on a pour tout entier k\geqslant1 ,

\Large\boxed{q_{k+1}-2=q_k^2-4} et donc \Large\boxed{q_{k+1}-2=(q_k-2)(q_k+2)=(q_k-2)q_{k-1}^2}

d'où pour tout entier n\geqslant0 ,

\Large\boxed{\prod_{k=1}^{n+1}\frac{1}{q_{k-1}}=\sqrt{\prod_{k=1}^{n+1}\frac{q_k-2}{q_{k+1}-2}}} et donc \Large\boxed{\prod_{k=0}^n\frac{1}{q_k}=\sqrt{\frac{q_1-2}{q_{n+2}-2}}=\frac{\sqrt{\delta^2-4}}{\sqrt{q_{n+1}^2-4}}}

et ainsi on voit que pour tout entier n\geqslant0 ,

\Large\boxed{2P_n=\delta-\frac{q_{n+1}\sqrt{\delta^2-4}}{\sqrt{q_{n+1}^2-4}}} sauf erreur de ma part bien entendu


Merci à vous aussi, j'ai mis un bout de temps à comprendre les differents calculs ici
C'est un plaisir Crei


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !