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Limite d'une suite

Posté par Profil Ramanujan 04-09-23 à 02:11

Bonsoir,
Je bute sur la dernière question.
1) Montrer que la suite \left( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} \right)_{n \in\N^{*}} converge.
2) On pose : H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} pour tout n \in \N^{*}.
a) Montrer que pour tout n \in \N^{*}: H_{2n}-H_n \geq \dfrac{1}{2}.
b) En déduire \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} H_n.

1) Posons : u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}.
On a u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+1)^2} donc (u_n) est croissante.
On a : u_n=1+\displaystyle\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}.
Or \forall k \geq 2 \ \dfrac{1}{k^2} < \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}.
Donc u_n < 1+ \displaystyle\sum_{k=2}^n (\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}) = 1+ (1- \dfrac{1}{n}) <2.
(u_n) est croissante et majorée donc elle converge.
2a) H_{2n}-H_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{k} \geq \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{2n} =\dfrac{1}{2n} \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n} 1 = \dfrac{1}{2}
On a montré : \boxed{\forall n \in \N^{*} \ H_{2n}- H_n \geq \dfrac{1}{2}}
Cordialement.

Posté par
verdurinre : Limite d'une suite 04-09-23 à 07:51

Bonjour,
de 2)a) on déduit que H_{2^n}\geqslant \dfrac{n}2 .

Posté par
luzakre : Limite d'une suite 04-09-23 à 08:36

La suite n\mapsto H_n est croissante.
Si elle est majorée, elle converge dans \R et la limite de n\mapsto H_{2n}-H_n est nulle.

La conclusion est immédiate.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite d'une suite 04-09-23 à 13:46

@Luzak
Super merci !

@verdurin
Merci il fallait le voir.
Montrons par récurrence sur n \in \N^{*}que H_{2^n} \geq \dfrac{1}{2}.
On a : H_2-H_1=\dfrac{1}{2} \geq \dfrac{1}{2} donc la propriété est vraie au rang n=1.
Supposons la propriété vraie au rang n.
On remarque que 2^{n+1}=2 \times 2^n
Donc H_{2^{n+1}} \geq H_{2^n}+ \dfrac{1}{2} \geq \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2} =1 \geq \dfrac{1}{2}
La suite extraite (H_{2^n}) diverge alors vers plus l'infini donc (H_n) diverge vers plus l'infini.

Posté par
Ulmierere : Limite d'une suite 04-09-23 à 13:55

Ramanujan @ 04-09-2023 à 13:46

@Luzak
Donc H_{2^{n+1}} \geq H_{2^n}+ \dfrac{1}{2} \geq \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2} =1 \geq \dfrac{1}{2}


Tu as mal utilisé ton hypothèse au rang n. On sait déjà que H_{2^{n+1}} \geqslant \dfrac12 puisque quand m\geqslant 1, H_m = 1 + \sum_{2\leqslant k\leqslant m}1 + (\text{truc } \geqslant 0)\geqslant 1\geqslant \dfrac12.

Posté par
Ulmierere : Limite d'une suite 04-09-23 à 13:56

Coquille: H_m = 1 + \sum_{2\leqslant k\leqslant m}\frac1{k} = 1 + (\text{truc } \geqslant 0)\geqslant 1\geqslant \dfrac12

Posté par Profil Ramanujanre : Limite d'une suite 04-09-23 à 14:08

Je ne vois pas l'erreur dans ma récurrence que je détaille plus ici.
On a H_{2m}-H_m \geq \dfrac{1}{2}.
Pour m=2^n : H_{2^{n+1}}-H_{2^n} \geq \dfrac{1}{2}
L'hypothèse de récurrence donne : H_{2^n} \geq \dfrac{1}{2}
Donc H_{2^{n+1}}\geq H_{2^n}+\dfrac{1}{2} \geq 1 \geq \dfrac{1}{2}

Posté par
carpediemre : Limite d'une suite 04-09-23 à 16:56

salut

troisième ligne toujours fausse : as-tu bien lu le msg de verdurin ?

Posté par Profil Ramanujanre : Limite d'une suite 04-09-23 à 18:24

Bonjour,
J'ai mal lu merci Carpediem.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite d'une suite 04-09-23 à 18:30

Montrons par récurrence la propriété P(n) : \forall n \in \N^{*} \ H_{2^n} \geq \dfrac{n}{2}.
Au rang n=1, on a : H_2=1+\dfrac{1}{2} \geq \dfrac{1}{2}.
SupposonsP(n) vraie.
On a H_{2^{n+1}}-H_{2^n} \geq \dfrac{1}{2}
Par hypothèse de récurrence : H_{2^{n+1}} \geq \dfrac{1}{2}+ H_{2^n} \geq \dfrac{1}{2}+ \dfrac{n}{2} = \dfrac{n+1}{2}


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