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Limite d'une suite

Posté par
Alorange38 26-02-24 à 16:12

Bonjour,
Peut-on dire d'une suite réelle (un)n∈Z qui vérifie lim n→+∞
nun = 1 que pour N ∈ N suffisamment grand, la suite (un)n≥N est strictement décroissante vers 0 ? Pour moi, cela semble vrai car on observe que lim n→+∞ 25Un=1 donc Un = 1/25 et ainsi de suite... Qu'en pensez-vous ?

Posté par
Alorange38re : Limite d'une suite 26-02-24 à 16:13

Donc lim n→+∞ Un=1/25 pardon

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite d'une suite 26-02-24 à 17:38

Bonjour, non elle peut osciller

\lim_{n->\infty}nu_n = 1 ça ne veut pas dire que un = 1/n

Alors il faut trouver un contre exemple

Par exemple u_n = \dfrac{1-\dfrac{10\sin n}{n}}{n}

on a bien \lim_{n->\infty}nu_n = 1

mais elle n'est pas décroissante , elles oscille en descendant

Limite d\'une suite

Posté par
Alorange38re : Limite d'une suite 26-02-24 à 17:59

D'accord, merci pour votre réponse. On peut donc dire que l'on ne peut pas prévoir la limite en + +∞ d'une telle suite alors ?

Posté par
carpediemre : Limite d'une suite 26-02-24 à 18:27

salut

on aurait aussi pu prendre : u_n = \dfrac 1 n \left( 1 + \dfrac {(-1)^n} n \right)

on peut tout de même revenir à la définition d'une limite :

\lim_{n \to + \infty} nu_n = 1 \iff \forall \epsilon > 0  \exists N \in \N  /  n \ge N \Longrightarrow 1 - \epsilon \le nu_n \le 1 + \epsilon

donc \dfrac 1 n (1 - \epsilon ) \le u_n \le \dfrac 1 n (1 + \epsilon)

et on peut donc simplement conclure que la suite (u_n) converge vers 0 et qu'elle est équivalente à la suite (1/n) puisque nu_n = \dfrac {u_n} {\dfrac 1 n}

Posté par
Alorange38re : Limite d'une suite 27-02-24 à 17:02

Ce contre-exemple marche tout à fait et est plus simple connaissant la défintion de la limite d'une suite convergente. Merci bien !

Posté par
carpediemre : Limite d'une suite 27-02-24 à 17:42

de rien


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