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Limite d'une suite de terme général un produit

Posté par
prisonnierde 15-02-24 à 09:42

Bonjour,
Je bloque depuis pas mal d'heures sur un exo qui n'a l'air pourtant pas très difficile... Voici l'énoncé :
Soit m un entier naturel non nul. Déterminer la limite de la suite de terme général
u_n = \prod_{k = m + 1}^n (1 - \frac{m^2}{k^2}), n \geq m + 1

J'ai tout d'abord essayé d'encadrer cette suite, sans succès (j'avais toujours l'encadrement 0 \leq u_n \leq 1 en passant à la limite), puis j'ai essayé d'obtenir une expression explicite de la suite en passant par le ln :
u_n = \frac{(n-m)!(n+m)!(m!)^2}{(2m)!(n!)^2}
Néanmoins, je n'arrive pas à calculer la limite de cette expression.
Pourriez-vous me donner des indications pour avancer sur cet exercice ?
Merci d'avance

Posté par
Ulmierere : Limite d'une suite de terme général un produit 15-02-24 à 11:18

u est à valeurs positives, tu peux prendre le log, et voir si le reste d'une somme de Riemann ne fait pas son apparition

Posté par
prisonnierdere : Limite d'une suite de terme général un produit 15-02-24 à 12:19

Je ne connais pas les sommes de Riemann malheureusement. Je dispose du théorème de la limite monotone, théorème des gendarmes, des équivalents etc... mais pas d'un tel outil

Posté par
Ulmierere : Limite d'une suite de terme général un produit 16-02-24 à 15:16

Je suis d'accord avec ton calcul. Tu peux laisser de côté le (2m)! et le (m!)^2, qui ne dépendent pas de n

Pour le reste

\begin{array}{rcl} \\ \dfrac{(n-m)!(n+m)!}{(n!)^2} &=& \dfrac{1\times\cdots\times (n-m)}{1\times\cdots\times n} \times \dfrac{1\times\cdots\times (n+m)}{1\times\cdots\times n} \\ \\ &=& \dfrac{1\times\cdots\times (n-m)}{1\times\cdots\times (n-m)\times\cdots\times n} \times \dfrac{1\times\cdots\times n\times\cdots\times (n+m)}{1\times\cdots\times n}\\ \\ &=& \dfrac{(n+1)\times\cdots\times(n+m)}{(n-m+1)\times\cdots\times n}\\ \\ &=&\dfrac{\cancel{n^m} \times (1+\frac1n)(1+\frac2n)\cdots(1+\frac{m}{n})}{\cancel{n^m} \times (1-\frac{m-1}{n})(1-\frac{m-2}{n})\cdots(1-\frac{0}{n})} \\ \end{array}

Au numérateur, un produit fini de m facteurs qui tendent vers 1. Même chose au dénominateur. Donc le quotient tend vers 1 et la limite que tu cherches est ... je te laisse finir

Posté par
prisonnierdere : Limite d'une suite de terme général un produit 16-02-24 à 15:27

Ainsi Un tend vers (m!)^2 / (2m)! J'ai pas osé travailler sur ce reste mais il s'avère au final que ce n'était pas si compliqué en effet... Merci beaucoup !

Posté par
Ulmierere : Limite d'une suite de terme général un produit 16-02-24 à 18:07

De rien
Dans ma dernière égalité, tu peux même mettre le tout à la puissance n avant de faire tendre vers l'infini, et tu verras que ça convergera quand même, mais vers e^m. Du coup le log de notre truc est équivalent à m/n, ce qui n'était pas évident au premier coup d'oeil


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