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Limite d'une suite défini par integrale

Posté par
Mathes1 31-03-23 à 19:26

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
calculer les limites des suites suivantes
U_n=\int_{0}^{1} sin(x^{n})dx
V_n=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{ne^{-nx}}{2+x^{3}}dx
alors je propose
Pour Un
On pose fn(x)=sin(xn)
net x[0,1] on a
\lim_{n \to +\infty} f_n(x)=\begin{cases} 0 , & \text{si } x\in[0,1[\\sin(1), & \text{si } x=1 \end{cases}
Et n x[0,1] |fn(x)|≤x=f(x)
Avec f est une fonction positive continue et intégrable sur [0,1] donc d'après le théorème de convergence dominée, On a
\lim_{n \to +\infty} f_n(x)=\int_{0}^{1}f(x)dx=0
•pour Vn
On pose gn(x)=\dfrac{ne^{-nx}}{2+x^3}
n et x[0;+[
On a :\lim_{n \to+ \infty} g_n(x)=\begin{cases} 0, & \text{si } x \in [0,1] \\, & \text{si } \end{cases}
Une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
carpediemre : Limite d'une suite défini par integrale 31-03-23 à 19:44

salut

1/ on peut le montrer directement avec des epsilon ...

2/ remarquer que \dfrac {ne^{-nx}} {2 + x^3} \le ne^{-nx} tout simplement

ce me semble-t-il ...

Posté par
Mathes1re : Limite d'une suite défini par integrale 31-03-23 à 22:16

Bonjour
Pour la fonction fn
net x[0,1] :|fn(x)|<1=f(x)
Mais est ce que c'est bon ma méthode
2)
\lim_{n \to +\infty} g_n(x)=0
x[0,+[
•je pense qu'on peut faire un changement de variable on pose t=nx
Vn=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{2+(\dfrac{t}{n})^{3}}dt
n*
t[0,+[
On a donc \lim_{n \to +\infty} g_n(x)=\dfrac{1}{2}e^{-t}
t[0,+[ et n*
Et |gn(t)|≤1/2e-t=g(t)
Avec g est une fonction positive continue et intégrable sur [0,+[
Donc \lim_{n \to +\infty} V_n=\int_{0}^{+\infty} g(t) dt=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{2}e^{-t}dt =[-\dfrac{1}{2}e^{-t}]_{0}^{+\infty}=\dfrac{1}{2}
Merci

Posté par
carpediemre : Limite d'une suite défini par integrale 01-04-23 à 09:06

1/ oui c'est bon ... en ne confondant as f_n et u_n dans ta rédaction ...

2/ le changement de variable n'est pas nécessaire pais tu peux aussi ...

Posté par
Mathes1re : Limite d'une suite défini par integrale 01-04-23 à 12:44

Bonjour
Pour la 2) est ce que la limite de Vn est bien 1/2?
Merci

Posté par
carpediemre : Limite d'une suite défini par integrale 01-04-23 à 12:52

2/ je retire ce que j'ai dit précédemment ...

ben il semblerait que tu le montres bien ... (peut-être mal rédigé éventuellement)

Mathes1 @ 31-03-2023 à 22:16


Donc \lim_{n \to +\infty} V_n=\int_{0}^{+\infty} g(t) dt=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{2}e^{-t}dt = {\red \lim_{a \to + \infty} }-\dfrac{1}{2}[e^{-t}]_{0}^{\red a}=\dfrac{1}{2}


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