Bonjour,

L'énoncé est-il complet ?
Car ceci est un contre-exemple me semble-t-il :

Bonjour le contexte est : on a une fonction f(t) = e^t/(1+t²) avec donc f(t) 0 pour t-.

On nous donne ensuite F(t)=f(t) entre 0 et x et la question et de montrer que F(t) admet une limite en -.

Étant curieux j'ai voulu poussé la question un peu plus loin du coup mais votre contre-exemple montre bien qu'il y'a des limites dans la curiosité.

Néanmoins ce site https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~daniel.perrin/CAPES/analyse/fonctions/limites-derivee-fct.pdf propose un théorème proche de celui que je voulais démontrer malgré le fait que je ne comprend pas bien la demo du lemme (le passage "On choisit une suite (xn) de points de I qui converge vers a. La condition (∗) ci-dessus montre que (f(xn)) est de Cauchy, donc converge vers une limite l"). pourriez-vous m'éclaircir sur ce point ?

Autant pour moi ce n'est pas F(t) mais F(x) on a :

F(x) = f(t)dt entre 0 et x

Bonsoir

Pour montrer que la fonction admet une limite finie en

on peut par exemple utiliser un corollaire du théorème de la limite monotone pour les fonctions réelles de la variable réelle :



Une fonction de vers qui est croissante et minorée admet une limite finie en .



Ici la fonction est bien croissante puisque de dérivée positive, et pour voir qu'elle est minorée on peut remarquer que





et donc _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Bonjour,
elhor_abdelali a répondu au premier point.

Pour votre question

Louloopings @ 26-03-2023 à 22:22

le passage "On choisit une suite (xn) de points de I qui converge vers a. La condition (∗) ci-dessus montre que (f(xn)) est de Cauchy, donc converge vers une limite l"). pourriez-vous m'éclaircir sur ce point ?

Ok de ce que j'ai compris une suite est dite de Cauchy si :

|U_n-U_p| pour p et q assez grand

Un théorème démontre qu'une suite de cauchy edmet forcement une limite en + ou - .

Or sois x_n une suite convergente de point de I
f(x_n) est une suite de Cauchy de premier termes f(x₀), f(x₁)... et on par hypothèse du lemme |f(x _n)-f(x_p)| pour n et p assez grand.

ai-je dis des bêtises ?

oups j'ai mistype je voulais dire :

|Un-Up|  bien sur

Néanmoins j'ai du mal a saisir quelques chose :

Dans le théorème que j'ai partagé, je ne vois pas pourquoi on ne peut pas l'utilisé dans le cas de notre fonction ? Si la dérivé tend vers 0 alors il existe un intervalle I sur lesquels elle est borné par M pour tout M et avec l'inégalité des accroissement finis on a F(t) M lipschitzienne sur cette intervalle (ici ]-;x₀] ).

Ne peut on pas donc actionné le Lemme puisqu'il est dit en remarque que il fonctionne en particulier pour une fonction lipschitzienne ?

J'ai l'impression que le blocage vient du fait que on parle ici de limite quand x tend vers - et non vers un nombre a mais je n'arrive pas a saisir la subtilité.

Merci de vos réponses.

Bonjour,

Le lemme de la feuille de Daniel Perrin concerne un réel , il n'a plus aucun sens si . Quel sens donnerais-tu à ?

" proche de " se traduit par où est un réel. Si on a une fonction lipschitzienne, on ne peut déduire de et aucune majoration de car peut être aussi grand qu'on veut, quel que soit .