bonjour viviroussel

f étant croissante donc: |f(x+1)-f(x)| = f(x+1)-f(x)

traduisant maintenant :
lim(f(x+1)-f(x))=0
x->+00

soit e>0

il existe A>0 tel que qq soit x>A f(x+1)-f(x)<e

soit n un élément qcq de N*  ;(remarquez que n ne dépend pas de e et A)

x+n-1>A donc 0<f(x+n)-f(x+n-1)<e
de même 0<f(x+n-1)-f(x+n-2)<e
...
et 0<f(x+2)-f(x+1)<e
   0<f(x+1)-f(x)<e
en additionnant membre à membre vous obtenez:
0<f(x+n)-f(x)<ne


soit y tel que y>A+1 donc y-A>1 donc E(y-A) est non nul
prenons n=E(y-A) et u=y-n  avec 0<=u<1
d'après la première question:

f(u+n)<f(u)+ne

en remplaçant u par y-n et n par E(y-A) on obtient

f(y)<f(u)+E(y-A)e

comme f est croissante alors f(u)<f(u+A)

donc f(y)<f(u+A)+E(y-A)e ; avec A<=u+A<A+1

donc f(y)<f(A+1)+ e posant B égal à la constante f(A+1)+ e
donc 0<f(y)<B
soit y non nul et positif
0<f(y)/y<B/y

comme limB/y=0 en +oo

alors limf(y)/y=0 en +oo

un exemple de telle fonction x--->f(x)=Ln(x)

f est croissante et f(x+1)-f(x)=Ln((x+1)/x) avec lim Ln((x+1)/x)=0 en +oo.

on bien au passage le résultat très connu limLn(x)/x=0 en +oo

voila bon courage