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Limite de fonctions Trigo.

Posté par
matheux14 17-11-20 à 17:15

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Calculer les limites suivantes :

1) \lim_{x\to0} \dfrac{\text{sin} 3x}{x}

2) \lim_{x\to0} \dfrac{3x}{\text{sin}5x}

3) \lim_{x\to0} \dfrac{\text{sin} 2x}{\text{sin} 5x}

4) \lim_{x\to +\infty} x  \text{sin}(\dfrac{2}{x})

5) \lim_{x\to 0} \dfrac{1- \text{cos} x}{x}

6) \lim_{x\to 0} \dfrac{\text{tan}(\dfrac{x}{2})}{x}

Réponses

1) \lim_{x\to0} \dfrac{\text{sin} 3x}{x} =\lim_{x\to0}3×\dfrac{\text{sin}x}{x}= 3×1 = 3

\boxed{\lim_{x\to0} \dfrac{\text{sin} 3x}{x}=3}


2) \lim_{x\to0} \dfrac{3x}{\text{sin}5x}=\lim_{x\to0} \dfrac{1}{\dfrac{\text{sin}5x}{3x}} = \lim_{x\to0} \dfrac{1}{\dfrac{5}{3}×\dfrac{\text{sin} 5x}{5x}}=\dfrac{1}{\dfrac{5}{3}×1}=\dfrac{3}{5}

\boxed{\lim_{x\to0} \dfrac{3x}{\text{sin}5x}=\dfrac{3}{5}}

3) \lim_{x\to0} \dfrac{\text{sin} 2x}{\text{sin} 5x} =\lim_{x\to0} \dfrac{\text{sin} 2x}{\text{sin} 5x} ×1 =\lim_{x\to0} \dfrac{\text{sin} 2x}{\text{sin} 5x} ×\dfrac{2x}{2x} =\lim_{x\to0} \dfrac{\text{sin} 2x}{2x} × \dfrac{2x}{\text{sin} 5x} =\lim_{x\to0} \dfrac{\text{sin} 2x}{2x} ×\dfrac{1}{\dfrac{\text{sin} 5x}{2x}}=\lim_{x\to0} \dfrac{\text{sin} 2x}{2x} ×\dfrac{1}{\dfrac{5}{2}×\dfrac{\text{sin} 5x}{5x}}=1×\dfrac{1}{\dfrac{5}{2}×1}=\dfrac{2}{5}

\boxed{\lim_{x\to0} \dfrac{\text{sin} 2x}{\text{sin} 5x}=\dfrac{2}{5}}

4) J'ai essayé avec le théorème des gendarmes mais çà ne marche pas ..

Je fais comment ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 17:20

Bonjour,
1) horrible de dire que sin(3x) = 3 sin x cela dit on trouve bien 3 mais utilise plutôt la même méthode que pour 2) et 3)
2) et 3) sont corrects

4) pose X = 1/x avec un X qui tend vers 0 et tu vas retomber sur des choses que tu connais.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 17:29

Bonjour,
Tes résultats sont bons, mais ta manière de les rédiger ne me convient pas.
Dans le premier il y a une coquille : sin(3x) n'est pas égal à 3sin(x).

Pour la rédaction, commence par transformer l'expression sans écrire des "lim".
Quand il n'y a plus de forme indéterminée, tu peux écrire la limite de chaque morceau, puis conclure en justifiant, genre "par produit" ou "par quotient".
Tu utilises plusieurs fois la limite de \dfrac{sin(X)}{X} en 0.
Il faut le dire et justifier enssuite avec "par composition".

Bon, là, tu ne rédiges pas, tu demandes si c'est bon
Mais perds cette habitude de mettre des "lim" trop tôt.

Posté par
matheux14re : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 17:29

Oups

Citation :
1) \lim_{x\to0} \dfrac{\text{sin} 3x}{x} =\lim_{x\to0}3×\dfrac{\text{sin}3x}{3x}= 3×1 = 3

\boxed{\lim_{x\to0} \dfrac{\text{sin} 3x}{x}=3}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 17:29

Bonjour Glapion,
J'ai été un peu longue...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 17:31

Pour la 5), il y a une astuce que je donnerai qu'à la fin si elle n'apparaît pas avant.
Je laisse Glapion continuer.

Posté par
matheux14re : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 17:39

Citation :
4) pose X = 1/x avec un X qui tend vers 0 et tu vas retomber sur des choses que tu connais.


Je ne comprends pas .. , et le x

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 17:51

Si on fait le changement de variables X = 1/x , il est pareil de calculer une limite quand x tend vers + que de calculer la même limite quand X tend vers 0

autrement dit \lim_{x\to +\infty} x \sin (\dfrac{2}{x}) = \lim_{X\to 0} \dfrac{1}{X} \sin(2X)

Posté par
matheux14re : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 18:02

Si je comprends bien X = 1/x donc x = 1/X.

D'où 2/x = 2/(1/X) = 2X

Posté par
matheux14re : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 18:14

\lim_{x\to +\infty} x  \sin (\dfrac{2}{x}) = \lim_{X\to 0} \dfrac{1}{X}   \sin(2X) = \lim_{X\to0} \dfrac{sin(2X)}{X} = \lim_{X\to0} 2×\dfrac{sin (2X)}{2X}= 2× 1 = 1

\boxed{\lim_{x\to +\infty} x  \sin (\dfrac{2}{x}) = 2}

Posté par
matheux14re : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 18:16

5) Je fais comment ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 18:27

tu as deux solutions :
ou bien tu utilises une formule trigo genre 1 - cos x = 2 sin²(x/2)
ou bien tu vois dans l'expression un accroissement en 0 d'une fonction f(x) à déterminer et tu calcules la limite en cherchant f'(0)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 19:02

Oui, pas d'astuce en fait ( c'est pour \dfrac{1-cos(x)}{x^{2}} ).

Posté par
malou Webmasterre : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 20:27

Bonne soirée à tous
pas le courage de vérifier, mais matheux14, n'as-tu pas fait ce genre d'exo l'hiver dernier ?

Posté par
matheux14re : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 20:32

Bonsoir malou

oui , mais pas les deux derniers cas , que je n'arrive pas à faire ..

Posté par
matheux14re : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 20:43

Citation :
1 - cos x = 2 sin²(x/2)

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 22:16

Et ? tu ne connais pas cette forme trigo ou bien tu ne vois pas comment l'utiliser ?

Posté par
matheux14re : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 22:22

Je ne la connais pas ..

Comment faire pour la retrouver ?

Est ce qu'on doit connaître par cœur ce genre de forme trigo ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite de fonctions Trigo. 17-11-20 à 23:24

celle qui est très connue c'est :
cos 2a = 2cos²a - 1 = 1 -2sin²a

si là dedans tu fais a = x/2 ça donne cos x = 1 - 2sin²(x/2) donc 1 - cos x = 2sin²(x/2)

Posté par
matheux14re : Limite de fonctions Trigo. 18-11-20 à 14:30

Celle que je connais est :

cos 2a = cos² a -sin²a

Comment trouver cos 2a = 2cos²a -1 = 1-2sin²a ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite de fonctions Trigo. 18-11-20 à 14:33

tu sais aussi que cos²a + sin²a = 1 donc dans cos 2a = cos² a -sin²a si tu remplaces cos²a par 1-sin²a ou bien sin²a par 1-cos²a tu tombes sur les deux formes que je t'ai données.

Posté par
matheux14re : Limite de fonctions Trigo. 18-11-20 à 14:56

Oui ,

5) \dfrac{1- \text{cos} x}{x}=\dfrac{2\text{sin}²(\dfrac{x}{2})}{x}= \dfrac{\text{sin}(\dfrac{x}{2})}{x} × 2\text{sin} (\dfrac{x}{2})=\dfrac{\text{sin}(\dfrac{1}{2}x)}{x} × 2\text{sin} (\dfrac{1}{2}x)

Donc \lim_{x\to0} \dfrac{1-\text{cos} x}{x} = \lim_{x\to0}\dfrac{\text{sin}(\dfrac{1}{2}x)}{x} × 2\text{sin} (\dfrac{1}{2}x) = \lim_{x\to0} \dfrac{1}{2}×\dfrac{\text{sin}(\dfrac{1}{2}x)}{\dfrac{1}{2}x} × 2\text{sin} (\dfrac{1}{2}x)= 1× 0 =0

\boxed{\lim_{x\to0} \dfrac{1-\text{cos} x}{x}=0}

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite de fonctions Trigo. 18-11-20 à 15:24

oui OK

Posté par
matheux14re : Limite de fonctions Trigo. 18-11-20 à 15:29

Citation :
ou bien tu vois dans l'expression un accroissement en 0 d'une fonction f(x) à déterminer et tu calcules la limite en cherchant f'(0)


Je ne vois pas vraiment ..

Comment faire ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite de fonctions Trigo. 18-11-20 à 17:17

(1- cos x)/x c'est de la forme ( f(x)-f(0))/x il suffit de l'écrire (- cos x - (-cos 0))/x
avec donc un f(x) = - cos x

par définition du nombre dérivé ça tend vers f'(0) et comme f'(x)= sin x ça tend donc vers sin(0) = 0

Posté par
matheux14re : Limite de fonctions Trigo. 18-11-20 à 18:47

Ah je vois c'est encore simple..

Pour la dernière ça va

Merci

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonctions Trigo. 18-11-20 à 19:22

Finalement, je ne résiste pas pour l'astuce

Elle fonctionne aussi pour \dfrac{1-cos(x)}{x} :
Pour x non nul et cos(x) -1,

\dfrac{1-cos(x)}{x} =\dfrac{(1-cos(x))(1+cos(x))}{x(1+cos(x))} = \dfrac{1-cos^{2}(x)}{x(1+cos(x))} = \dfrac{sin(x)}{x}\times \dfrac{sin(x)}{1+cos(x)}

Posté par
matheux14re : Limite de fonctions Trigo. 18-11-20 à 20:03

OK

Merci et bonne soirée à vous !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de fonctions Trigo. 18-11-20 à 20:34

De rien
As-tu remarqué que je n'ai pas écrit un seul "lim"

Posté par
matheux14re : Limite de fonctions Trigo. 18-11-20 à 20:48

Oui


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