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Limite de l'intégrale (1+x^n) pour x compris entre 0 et 1

Posté par
Starchaser 04-11-23 à 19:19

Bonjour à tous,
Je suis bloquée sur l'énoncé suivant:

Déterminer la limite de l'intégrale (entre 0 et 1 et n qui tend vers + ) de la fonction
(1+x^n)

J'ai essayé d'effectuer un encadrement de l'intégrale mais celà ne me permet que de déterminer que la limite est comprise en 1 et racine de 2.

Auriez vous une idée de la méthode à utiliser pour déterminer cette limite ?

Merci d'avance pour votre temps et votre réponse

PS: je suis en MPSI, si ça peut être utile

Posté par
carpediemre : Limite de l'intégrale (1+x^n) pour x compris entre 0 et 1 04-11-23 à 19:42

salut

posons f_n(x) = 1 + x^n alors sur [0, 1]la suite (f_n) est décroissante et tend vers 0sur [0, 1[

ensuite sinon la fonction racine est concave donc 1 \le \sqrt {1 + x^n} \le 1 + \dfrac 1 2 x^n

vérifier (et justifier) tout de même la majoration

Posté par
Starchaserre : Limite de l'intégrale (1+x^n) pour x compris entre 0 et 1 05-11-23 à 13:06

Bonjour,

Je n'aurai pas pensé à encadrer avec cette fonction. Ça fonctionne bien mieux qu'avec celle que j'avais utilisé.  

Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Limite de l'intégrale (1+x^n) pour x compris entre 0 et 1 05-11-23 à 13:10

PS : une petite erreur : la suite tend vers 1 sur [0, 1[

de rien

Posté par
Ulmierere : Limite de l'intégrale (1+x^n) pour x compris entre 0 et 1 05-11-23 à 13:49

Tu peux aussi simplement appliquer l'inégalité de Hölder pour la majoration

Posté par
Ulmierere : Limite de l'intégrale (1+x^n) pour x compris entre 0 et 1 05-11-23 à 13:52

Ou encore plus simple : pour tout t\geqslant 1, \sqrt{t} \leqslant t


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