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Limite de sommes

Posté par
matheux14 12-07-24 à 21:05

Bon weekend à tous,

On donne : \mathcal{S}_{\ell} = \lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{2}{n} \sum\limits^n_{k = 1} \sqrt{\dfrac{2p\left(\dfrac{n + 2k}{n}\right) + 3}{p\left(\dfrac{n + 2k}{n}\right)+ 1}}.

Calculer \ell = \lim\limits_{p \longrightarrow + \infty} \mathcal{S}_{\ell}

Après calcul, \mathcal{S}_{\ell} est une somme de Riemann et on retombe sur \begin{aligned}\mathcal{S}_{\ell} = \int^{p + 2}_p \sqrt{\dfrac{2x + 3}{x + 1}} d x\end{aligned}

Une piste pour calculer \ell ?

Posté par
verdurinre : Limite de sommes 12-07-24 à 21:30

Bonsoir,
la fonction x\mapsto \sqrt{\frac{2x + 3}{x + 1}} est décroissante et positive.

On a donc \begin{aligned}\int^{p + 2}_p \sqrt{\dfrac{2p + 7}{p + 3}} d x\leqslant\mathcal{S}_{\ell} \leqslant \int^{p + 2}_p \sqrt{\dfrac{2p + 3}{p + 1}}d x\end{aligned}.

La suite me semble facile.

Posté par
matheux14re : Limite de sommes 12-07-24 à 22:00

Merci

Posté par
verdurinre : Limite de sommes 13-07-24 à 15:20

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