Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

limite de suite

Posté par
romu 27-09-07 à 01:30

Bonsoir,

je ne vois pas comment procéder pour attaquer cet exercice:

Montrer que

4$ \lim_{n\rightarrow+\infty} \Bigprod_{k=1}^n \frac{k(k+1)+1+i}{k(k+1)+1-i} = i,\quad \quad i=\sqrt{-1}.

Merci pour vos indications.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : limite de suite. 27-09-07 à 01:49

Bonsoir romu ;

Remarquer que 3$\fbox{k(k+1)+1+i=(k+i)(k+1-i)} (sauf erreur)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : limite de suite. 27-09-07 à 20:19

\fbox{\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{k(k+1)+1+i}{k(k+1)+1-i}=\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{(k+i)(k+1-i)}{(k-i)(k+1+i)}=\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{k+i}{k+1+i}\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{k+1-i}{k-i}=\frac{1+i}{n+1+i}\hspace{5}\frac{n+1-i}{1-i}} (sauf erreur)

Posté par
romure : limite de suite 27-09-07 à 21:58

Bonsoir Ehlor, oui moi aussi, j'ai trouvé cette égalité au boulot. Ensuite j'ai continué

3$\Bigprod_{k=1}^n \frac{k(k+1)+1+i}{k(k+1)+1-i} = \frac{(1+i)(n+1-i)}{(1-i)(n+1+i)} = \frac{n+in+2}{n-in+2} = \frac{(n+2+in)^2}{[(n+2)-in][(n+2)+in]} = \frac{(n+2)^2+2(n+2)in+i^2n}{(n+2)^2-i^2n} = \frac{(n+2)^2-n^2+2(n+2)in}{(n+2)^2+n^2} = \frac{(n+2)^2-n^2}{(n+2)^2+n^2} + i \frac{2n(n+2)}{(n+2)^2+n^2}

Après j'ai montré que la partie réelle tend vers 0, et la partie imaginaire tend vers 1.

Mais comment tu as pu voir facilement que k(k+1)+1+i se factorise en (k+1)(k+1-i)? et surtout que ça pourrait nous pister vers le résultat?

En tout cas merci pour ton aide ehlor

Posté par
Tigweg Correcteurre : limite de suite 27-09-07 à 22:07

Bonsoir vous deux

Citation :
Moi aussi, j'ai trouvé cette égalité au boulot


> Tu veux dire sur ton vélo, romu???Tu écris sur le courrier des gens de ta tournée?

Posté par
romure : limite de suite 28-09-07 à 00:07



salut tigweg,

je suis pas dans le courrier, je suis dans le service financier.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : limite de suite. 28-09-07 à 01:04

Bonsoir ;

Pas la peine romu car ,

2$\fbox{\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{k(k+1)+1+i}{k(k+1)+1-i}=\frac{1+i}{n+1+i}\hspace{5}\frac{n+1-i}{1-i}=\frac{1+i}{1-i}\hspace{5}\frac{1-\frac{i}{n+1}}{1+\frac{i}{n+1}}}

et comme 2$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}\frac{i}{n+1}=0} on voit bien que :

3$\blue\fbox{\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{k(k+1)+1+i}{k(k+1)+1-i}=\frac{1+i}{1-i}=i} (pour l'idée disons que c'était une simple intuition)

Posté par
romure : limite de suite 28-09-07 à 11:09

ah oui effectivement c'est beaucoup plus simple comme ça.

merci Elhor

Posté par
Tigweg Correcteurre : limite de suite 28-09-07 à 18:13

Ok romu, j'avais mal compris dans ce cas!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !