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limite de suite

Posté par
theboss1er 09-12-07 à 14:31

bonjour

j'ai cet exo : soit u(n) définie par u(0)=0 et u(n+1)=sqrt( (1+u(n)) / 2 )

je dois calculer la limite du produit de u(k) pour k de 1 à n quand n tend vers +∞

il y a une indication "considérer teta(k)=arccos(u(k))"


j'ai essayer les encadrements mais je ne tombe jamais sur quelquechose de concluant…

auriez-vous une piste à me fournir svp ??

merci d'avance

a+

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite de suite 09-12-07 à 14:40

Bonjour,

Si je comprends bien, on te propose de poser u(n) = cos(theta(n)). Pourquoi a-t-on le droit de le faire ?

Fais-le. Comment se simplifie alors l'équation de récurrence ?

Posté par
theboss1erre : limite de suite 09-12-07 à 15:51

theta(0)=pi/2 et puis u(k+1) ne se simplifie pas trop ... ou alors il faut passer à la forme exponentielle de cos mais sinon je vois pas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite de suite 09-12-07 à 15:53

Merci de répondre à ma première question.

Quant à la seconde, (1+cos(x))/2 = ??? (formule de trigo)

Posté par
theboss1erre : limite de suite 09-12-07 à 16:09

on a le droit de le faire car arccos defini sur -1;1 et 0 =< u(n) =< 1


et (1+cos(x))/2 je ne vois paas du tout....

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite de suite 09-12-07 à 16:12


Une récurrence triviale permet de montrer que :
3$\forall n\in\mathbb{N}, 0\le un\le 1

On peut donc poser 3$u_n=\cos\theta_n avec 3$\theta_n\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]

La relation de récurrence devient alors :
3$u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}}
3$\cos\theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1+\cos\theta_n}{2}}
3$\cos\theta_{n+1}=\sqrt{\cos^2\frac{\theta_n}{2}}
3$\cos\theta_{n+1}=\left|\cos\frac{\theta_n}{2}\right|
3$\fbox{\cos\theta_{n+1}=\cos\frac{\theta_n}{2}}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite de suite 09-12-07 à 16:13

J'au utilise (1+cosx)/2 = cos²(x/2) : formule de trigonométrie de base, dont la nécessite saute aux yeux ici.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite de suite 09-12-07 à 16:13

Pardon : j'ai utilisé.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite de suite 09-12-07 à 16:33

Ensuite...
3$\bigprod_{1\le k\le n}u_k=\cos\theta_1.\cos\theta_2...\cos\theta_n
3$\bigprod_{1\le k\le n}u_k=\cos\theta_1.\cos\frac{\theta_1}{2}...\cos\frac{\theta_1}{2^{n-1}}
On multiplie les deux membres par une même grandeur :
3$\sin\frac{\theta_1}{2^{n-1}}\times\bigprod_{1\le k\le n}u_k=\cos\theta_1.\cos\frac{\theta_1}{2}...\cos\frac{\theta_1}{2^{n-1}}\times\sin\frac{\theta_1}{2^{n-1}}
En utilisant la formule 3$2\sin a\cos a=\sin 2a, on obtient de proche en proche :
3$\sin\frac{\theta_1}{2^{n-1}}\times\bigprod_{1\le k\le n}u_k=\frac{1}{2^n}\sin 2\theta_1
3$\bigprod_{1\le k\le n}u_k=\frac{\sin 2\theta_1}{2^n\times\sin\frac{\theta_1}{2^{n-1}}}
Or 3$\theta_1=\frac{\pi}{4}, donc :
3$\fbox{\bigprod_{1\le k\le n}u_k=\frac{1}{2^n\times\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}}
3$\bigprod_{1\le k\le n}u_k=\frac{2}{\pi}\times\frac{1}{\left(\frac{\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}\right)}\fbox{\to\frac{2}{\pi}}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
theboss1erre : limite de suite 09-12-07 à 16:36

j'ai honte de ne pas connaitre cette formule...
en tout cas merci beaucoup


on a donc u(n+1) = arccos(u(n))/2 ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite de suite 09-12-07 à 16:39

Tu ferais mieux de lire mes messages précédents.

Posté par
theboss1erre : limite de suite 09-12-07 à 16:39

a j'avais pas vu que tu avais finis l'exo en tout cas bien joué

merci beaucoup je ne sais pas comment penser à faire toutes ces modifications, je n'y aurais jamais pensé...

merci encore a+ ^

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite de suite 09-12-07 à 16:41

Je t'en prie.


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