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Limite de suite
Bonsoir,
On considère deux suites et
et définies par :
et
1. Montrer que (un)n∈N est strictement croissante et que (vn)n∈N est strictement décroissante à partir d'un certain rang.
2. En déduire que (un)n∈N et (vn)n∈N converge vers une même limite l.
3. Montrer que cette limite est irrationnelle.
Pour 1) j'ai essayé de voir le signe de mais il me semble bien qu'à un certain rang ;
et lorsque n tend vers l'infinis
et aussi j'ai remarqué que
lorsque n tend vers l'infini.
Oui j'avais vu.
2) Je dois montrer que ces deux suites sont équivalentes.
J'ai trois méthodes dans mon cours :
1) Montrer que
2) À partir d'un certain rang, avec
3) À partie d'un certain rang, avec
Quelle méthode est mieux ici ?
Tu dois simplement montrer qu'elles ont la même limite, non ? (deux suites qui ont la même limite finie sont équivalentes, par ailleurs)
Il y a un théorème du cours qui permet de le justifier. Comment sont u et v ?
Il est bien sûr faux que "deux suites ayant la même limite finie sont équivalentes" .... lol (sauf si cette limite est non nulle).
Maintenant je crois que tu as des critères de convergence de suites assez simple à appliquer
Donc
(un)n∈N étant strictement croissante et (vn)n∈N étant strictement décroissante. Le calcul en rouge m'a permis de conclure que les deux suites sont adjacentes.
Par l'absurde, e est par définition la limite de ces suites , tu supposes que e = a/b quotient d'entiers premiers entre eux , ensuite tu multiplie par b , en écrivant e = somme de tous les termes tu vas avoir a qui est entier = un entier + un reste si tu prouve que le reste est < 1 (positif non nul) alors c'est gagné.
non ...ce n'est pas demandé et pour moi c'est une définition de e ..que tu peux définir autrement ..sinon je ne connais pas d'autre moyen simple de prouver que e est irrationnel
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