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Limite de suite

Posté par
Liliana27 28-01-24 à 19:04

Bonjour,

j'ai besoin d'aide pour l'une des questions d'un exercice svp.
Soit pn =\frac{1}{2\sqrt{2}}*((1+\sqrt{2})^{n}- (1-\sqrt{2})^{n})

Calculer lim \frac{p_{n+1}}{p_{n}}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de suite 28-01-24 à 19:09

Bonsoir,
Je ne fais que passer.
Peux-tu donner l'énoncé de l'exercice depuis le début ?
Les questions précédentes peuvent être utiles.

Posté par
lakere : Limite de suite 28-01-24 à 19:13

Bonsoir Liliana2,
Ça sent à plein nez une suite de Fibonacci. Mais je vois ceci :

Citation :

... pour l'une des questions d'un exercice ...

Je pense qu'il serait judicieux de nous donner l'exercice complet

Posté par
lakere : Limite de suite 28-01-24 à 19:14

Bon, je disparais

Posté par
Liliana27re : Limite de suite 28-01-24 à 19:39

Oui bien sûr, voici l'exercice complet :
(Suite de Pell)

Soient A = \begin{pmatrix} 2&1 \\ 1& 0 \end{pmatrix}

et Un = \begin{pmatrix} p_{n+1}\\ p_{n} \end{pmatrix}

pn+2= 2pn+1 +pn

1) Calculer les termes p2, p3, ..., p6
2) Calculer A2, A4 et A8
3) Justifier que Un = AnU0
4) a) Soit P = \begin{pmatrix} 1-\sqrt{2}& 1+\sqrt{2}\\ 1& 1 \end{pmatrix}
.
Calculer P-1

b) Montrer que A=PDP-1 où D = \begin{pmatrix} 1+\sqrt{2}& 0\\ 0 & 1-\sqrt{2} \end{pmatrix}


c) En déduire que :

Un = \frac{1}{2\sqrt{2}}\begin{pmatrix} (1+\sqrt{2})^{n+1} -(1-\sqrt{2})^{n+1} \\ (1+\sqrt{2})^{n} -(1-\sqrt{2})^{n} \end{pmatrix}


Donner une formule explicite de pn en fonction de n.
5) Calculer lim pn+1/pn

6) a) Montrer que An= \begin{pmatrix} p_{n+1}& p_{n} \\ p_{n} & p_{n-1} \end{pmatrix}


b) En calculant AnAn, montrer que p2n = (2pn-1 + 2pn)pn et que
p2n-1= p2n + p2n-1

Posté par
carpediemre : Limite de suite 28-01-24 à 21:14

salut

(1 + \sqrt 2)^{n + 1} - (1 - \sqrt 2)^{n + 1} = (1 + \sqrt 2) [(1 + \sqrt 2)^n - (1 - \sqrt 2)^n] + 2 \sqrt 2(1 - \sqrt 2)^n

donc \dfrac {p_{n + 1}}{p_n} = 1 + \sqrt 2 - 2\sqrt 2 \dfrac 1 {1 - \left( \dfrac {1 + \sqrt 2} {1 - \sqrt 2} \right)^n}

or  \left( \dfrac {1 + \sqrt 2} {1 - \sqrt 2} \right)^n = (-1)^n (3 + 2\sqrt 2)^n \to \infty

en espérant ne pas avoir fait d'erreur ...

Posté par
jandri Correcteurre : Limite de suite 28-01-24 à 21:38

Bonjour,

on n'a pas besoin de l'énoncé complet pour répondre à la question initiale :

|1-\sqrt2|<1 entraine \lim (1-\sqrt2)^n=0 d'où p_n\sim\dfrac1{2\sqrt2}(1+\sqrt2)^n et par suite \dfrac{p_{n+1}}{p_n}\sim 1+\sqrt2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de suite 28-01-24 à 21:51

Heu...
Je trouve 1+2.

Poser a = 1+2 et b = 1-2
On peut remarquer que ab = -1 ; mais en fait utiliser |b| < 1 suffit.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite de suite 28-01-24 à 21:52

Bonsoir jandri,
Tu as été plus rapide que moi

Posté par
Liliana27re : Limite de suite 28-01-24 à 22:02

je trouve également 1+2

Merci pour votre aide

Posté par
Liliana27re : Limite de suite 28-01-24 à 22:23

est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour la dernière question svp

D'une part, j'ai déterminé la matrice A2n à partir de la question 6.a)
J'obtiens : \begin{pmatrix} p_{2n+1}&p_{2n} \\ p_{2n}& p_{2n-1} \end{pmatrix}


Puis d'autre part je calcule AnAn = A2n  et j'obtiens

A2n = \begin{pmatrix} p^{2}_{n+1}+ p^{2}_{n}& p_{n+1}p_{n} + p_{n}p_{n-1} \\ p_{n+1}p_{n}+p_{n}p_{n-1}& p^{2}_{n-1}+ p^{2}_{n} \end{pmatrix}

J'arrive donc à trouver la réponse pour la 2e partie de la question mais pas pour la première concernant p2n

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Limite de suite 28-01-24 à 22:36

U_n=AU_{n-1} donne p_{n+1}=2p_n+p_{n-1} ...

Posté par
Liliana27re : Limite de suite 29-01-24 à 00:47

De cette manière j'obtiens :

On sait que U2n = \begin{pmatrix} p_{2n+1}\\ p_{2n} \end{pmatrix}


U2n = AU2n-1 = \begin{pmatrix} 2&1 \\ 1& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p_{2n} \\ p_{2n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2p_{2n} + p_{2n-1}\\ p_{2n} \end{pmatrix}

Je n'arrive pas à trouver l'égalité

Posté par
Liliana27re : Limite de suite 29-01-24 à 01:11

Je me suis trompée, il me fallait uniquement l'expression de pn+1 (celle que vous m'avez indiquée)

J'ai finalement compris comment faire !
Merci beaucoup.


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