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Niveau Maths sup
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Limite de suite à partir d'une inégalité

Posté par Profil Ramanujan 08-09-23 à 20:47

Bonsoir,
Exercice classé 2 étoiles de difficulté sur 3.
Soient (a_n)_{n \in \N} et (b_n)_{n \in \N} deux suites strictement positives.
Montrer que si \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \leq \dfrac{b_{n+1}}{b_n} pour tout n \in \N avec \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} b_n =0 alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n=0.


J'ai cherché 10 minutes mais je ne trouve pas d'idée. J'ai essayé de transformer l'inégalité en multipliant mais sans succès.

Posté par
GBZM
re : Limite de suite à partir d'une inégalité 08-09-23 à 20:51

Bonsoir,
C'est le huitième exercice sur les suites sur lequel tu demandes de l'aide.
Est-ce que ça deviendrait une habitude ?

Posté par Profil Ramanujanre : Limite de suite à partir d'une inégalité 08-09-23 à 21:01

Je ne dispose pas de correction de ces exercices malheureusement ou heureusement.
Apparemment, on progresse plus lorsqu'on a pas de corrigé sous la main.

Posté par
Vassillia
re : Limite de suite à partir d'une inégalité 08-09-23 à 22:38

Bonjour Ramanujan (ou devrais-je dire OShine pour ceux qui connaissent).
Peu importe qu'on ait ou pas le corrigé sous la main, ce n'est pas le problème. On progresse quand on fait des exercices de son niveau soi-même plutôt qu'en étant débloqué systématiquement par des intervenants. Et pour cela, il faut prendre son temps, réfléchir, y revenir le lendemain, prendre du recul sur les notions qu'on apprend...
Quand tu parles de réfléchir 10 min sur ce sujet ou 5 min sur un autre, c'est de mon point de vue, du grand n'importe quoi. La plupart des intervenants vont passer plus de 5 ou 10 min à te répondre en cherchant une approche pédagogique pertinente et tu n'en retiendras rien.
Mais je parle pour rien, je sais que tu continueras, je voulais juste m'exprimer pour les intervenants en questions, désolée du dérangement, je n'interviens plus.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite de suite à partir d'une inégalité 09-09-23 à 10:19

Bonjour,

Citation :
J'ai essayé de transformer l'inégalité en multipliant mais sans succès.
Montre nous.
En le réécrivant ce matin, ça va peut-être faire tilt.

PS Tout à fait d'accord avec Vassillia que je salue.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite de suite à partir d'une inégalité 09-09-23 à 11:55

J'ai réfléchi encore ce matin mais je n'arrive pas à avancer du tout.

J'ai écris : a_{n+1} b_n \leq b_{n+1} a_n

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite de suite à partir d'une inégalité 09-09-23 à 12:01

Cherche une autre manière de transformer cette inégalité pour introduire une nouvelle suite.

Posté par
thetapinch27
re : Limite de suite à partir d'une inégalité 09-09-23 à 12:09

Bonjour,

Vu l'exo et le calendrier, et si le programme de sup n'a pas changé, je pense que tu as dû voir récemment les "sommes télescopiques" ou "télescopages". Sous certaines conditions, ce principe peut s'appliquer aux produits.

Bon courage

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite de suite à partir d'une inégalité 09-09-23 à 12:16

Bonjour thetapinch27,
Ma piste est différente et me semble plus simple, niveau terminale.
Peux-tu me laisser poursuivre ?
Tu pourras revenir avec ton idée quand Ramanujan aura réussi à aboutir avec la mienne.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite de suite à partir d'une inégalité 09-09-23 à 12:24

Ok merci.
thetapinch27 je ne suis pas en sup, je suis prof certifié.
Mais j'essaie de consolider mes connaissances sur les suites (niveau sup).

Soit n \in \N^{*}.
On a : \forall k \in \N \ \dfrac{a_{k+1}}{a_k} \leq \dfrac{b_{k+1}}{b_k}
Donc :  \prod_{k=0}^{n-1} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} \leq \prod_{k=0}^{n-1}\dfrac{b_{k+1}}{b_k}

C'est un produit télescopique, on obtient alors :
\dfrac{a_n}{b_0} \leq \dfrac{b_n}{b_0}

Enfin : \boxed{0 < a_n \leq \dfrac{a_0}{b_0} \times b_n}

Par passage à la limite lorsque n tend vers + \infty, on obtient par encadrement que \boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n =0}

Sylvieg, je ne vois pas pour l'autre méthode.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite de suite à partir d'une inégalité 09-09-23 à 13:40

Pour faire apparaître le sens de variation d'une suite auxiliaire,
mettre à gauche tous les termes d'indice n+1 et à droite ceux d'indice n.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite de suite à partir d'une inégalité 09-09-23 à 13:52

Ah d'accord merci Sylvieg bien vu !
On obtient : \dfrac{a_{n+1}}{b_{n+1}} \leq \dfrac{a_n}{b_n}
Posons u_n= \dfrac{a_n}{b_n} >0
La suite (u_n) est décroissante et minorée par 0 donc elle converge vers un réel \ell.
Mais a_n = u_n \times b_n \longrightarrow \ell \times 0 =0.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite de suite à partir d'une inégalité 09-09-23 à 13:57

OK



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