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Limite de variables aléatoires indépendantes

Posté par
sprif 31-03-21 à 18:10

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour un exercice de proba.
On a une suite de variables aléatoires indépendantes (Xn) qui converge presque sûrement. On veut montrer que sa limite X est constante presque sûrement.
Je bloque complètement, est-ce que vous auriez des indications s'il vous plait ?

Merci !

Posté par
lionel52re : Limite de variables aléatoires indépendantes 31-03-21 à 20:10

Hello ! Si X n'est pas constante il existe 2 boréliens B1 et B2 disjoints tel que P(X appartient à B1) et P(X2 appartient à B2) sont strictement positifs.

Ensuite tu peux calculer la limite de P(Xn appartient à B1 et Xn+1 dans B2) de plusieurs manières.

Posté par
sprifre : Limite de variables aléatoires indépendantes 31-03-21 à 21:15

Merci beaucoup pour votre réponse ! Je ne comprends pas très bien comment on sait que de tels boréliens existent.

Mais partant de votre indication, est-ce que ce raisonnement est correct ? :
P(X_n \in B_1, X_{n+1} \in B_2) = P(X_n \in B_1)P( X_{n+1} \in B_2) par indépendance des X_n.
Comme X_n converge presque sûrement vers X, on a que P(X_n \in B_1) tend vers P(X \in B_1) et P( X_{n+1} \in B_2) tend vers P( X \in B_2).

D'autre part P(X_n \in B_1, X_{n+1} \in B_2) tend vers P(X \in B_1, X \in B_2)=P(X \in B_1 \cap B_2) = 0 (je ne sais pas trop comment justifier cette convergence) car B_1 et B_2 sont disjoints.
Or on sait que P( X \in B_2) et P( X \in B_1) sont strictement positifs donc on a une contradiction et X est constante.

Posté par
lionel52re : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 10:28

Alors c'est bien.

1) Si F, fonction de répartition de X vérifie :
Il existe c tel que F(c) = 1 et F(x) = 0, \forall x < c alors X est constante presque sûrement car P(X = c) = F(c) - F(c^-) = 1
Par contraposition il existe donc dans tous les cas d tel que 0 < F(d) < 1


Soit d tel que 0 < F(d) < 1. Alors il existe c>d tel que F(c) > F(d) (F croit vers l'infini) et tu peux choisir les boréliens B_1 = ]-\infty, d] et B_2 = ]d, \infty[



P(X_n \in B_1 , X_{n+1} \in B_2) = E[1_{X_n \in B_1 , X_{n+1} \in B_2}] \to E[1_{X \in B_1 , X_{n} \in B_2}] grâce au théorème de convergence dominée.

Posté par
sprifre : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 11:14

Merci c'est beaucoup plus clair maintenant !
J'ai une dernière question, est-ce que du coup il existe une infinité de boréliens B1 et B2 qui vérifient ces propriétés comme pour tout d, on a 0 < F(d) <1 si X non constante ? Du coup on peut choisir n'importe quel d ?

Posté par
lionel52re : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 11:19

J'ai pas dit que pour tout d, 0 < F(d) < 1  ! Prends une variable qui prend 2 valeurs...
Par contre si F(c) = 1, alors il existe d < c tel que 0 < F(d) < 1

Et s'il n'y a pas de c tel que F(c) = 1 il existe de toute façon au moins un d tel que  0 < F(d) < 1

Posté par
sprifre : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 11:29

Oui désolé, je me suis embrouillé !
Juste pour être sûr, la contraposée c'est bien: X n'est pas constante presque sûrement \Rightarrow \forall c, F(c) <1, \exists x<c, F(x) >0  ?
Donc, il existe d tel que 0<F(d)<1.

Posté par
lionel52re : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 11:34

\forall c, F(c) =1 \implies \exists x<c, 0 < F(x) < 1

Posté par
sprifre : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 14:02

D'accord merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
WilliamM007re : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 15:38

Bonjour.

Vous parlez de fonction de répartition. Les variables aléatoires considérées ici sont donc réelles ? Ce n'est pas précisé dans l'énoncé.

De plus, le théorème de convergence dominée est mal employé ici. Ce n'est pas parce que X_n converge presque sûrement vers X que \mathbb P(X_n\in B) converge vers \mathbb P(X\in B). Prenez par exemple B=]-\infty,0], X=0 et X_n=\frac1n.

Il y a des arguments qui manquent.

Posté par
lionel52re : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 16:09

Oulà c'est vrai. Il faudrait prendre B1 et B2 2 fermés. Il faut adapter la démo.
B_1 = ]-\infty , d + (c-d)/3] et B_2 = [d + 2(c-d)/3, + \infty[ devrait fonctionner...


Dans le cas où X_n n'est pas à valeurs réelles j'ai pas d'idée pour l'instant.

Posté par
WilliamM007re : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 17:16

Malheureusement fermé ne convient pas non plus. D'ailleurs dans mon contre-exemple, B est fermé.

Je vous rédigerais bien une solution maintenant, mais je suis malheureusement piqué d'une flemme monumentale

Je le ferai un peu plus tard si vous permettez :p

Posté par
WilliamM007re : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 17:52

Au passage, sprif, connais-tu la loi du 0-1 de Kolmogorov ? Elle a pour corollaire immédiat que pour tout ensemble mesurable B, \mathbb P(X\in B) est soit égal à 0, soit égal à 1.

Si on est à valeurs dans un espace métrique séparable, la conclusion est immédiate. En effet, pour tout entier n\in\N^*, il existe une boule B_n de rayon \frac1n telle que \mathbb P(X\in B_n)>0, et donc \mathbb P(X\in B_n)=1. Alors l'ensemble B=\bigcap_{n\in\N^*}B_n est un singleton qui vérifie \mathbb P(X\in B)=1, donc X est presque sûrement constante.

Posté par
sprifre : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 18:52

Merci beaucoup pour cette explication ! Je n'ai pas encore vu cette loi mais je crois que je vais le faire plus tard dans mon cours.

Posté par
sprifre : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 18:55

Ce n'est pas précisé dans l'énoncé mais je crois que ce sont des variables aléatoires réelles, à chaque fois on a travaillé dans ce cas.
Pour P(Xn ∈ B) converge vers P(X ∈B) est ce qu'on ne peut pas dire que Xn converge presque sûrement vers X implique que Xn converge vers X en loi et donc PXn converge étroitement vers PX (et après je crois que ça fonctionne mais pas sûr).

Posté par
sprifre : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 19:11

Non en fait ça ne fonctionne pas désolé, l'indicatrice n'est pas continue et la convergence étroite c'est pour des fonctions continues bornées...

Posté par
WilliamM007re : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 19:47

Exact, mais es-tu familier avec le théorème de Portmanteau ? Parmi l'une de ses nombreuses versions il y a la suivante (je n'écris que l'implication qui nous intéresse) :
Si X_n converge en loi vers X et B est un ensemble mesurable tel que \mathbb P(X\in\partial B)=0 (ou \partial B désigne la frontière de B), alors \mathbb P(X_n\in B)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\mathbb P(X\in B).

Je reprends le début raisonnement de lionel52. Comme il le dit, si X n'est pas presque sûrement constante, alors il existe un réel d tel que sa fonction de répartition F vérifie 0<F(d)<1. Puisque F tend vers 1 en +\infty, il existe un réel c>d tel que 0<F(d)<F(c)<1. La fonction F étant croissante, elle admet un nombre au plus dénombrable de points de discontinuité. En particulier, elle admet un point de continuité x sur l'intervalle [d,c]. On vient donc de prouver l'existence d'un réel x en lequel F est continue et vérifie 0<F(x)<1.

Soient alors B_1=]-\infty,x] et B_2=]x,+\infty[, qui ont comme frontière commune \partial B_1=\partial B_2=\{x\}, qui vérifie \mathbb P(X=x)=0 par continuité de F en x. Par le résultat que j'ai mentionné au début, \mathbb P(X_n\in B_1)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\mathbb P(X\in B_1) et \mathbb P(X_n\in B_2)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\mathbb P(X\in B_2). Puisque 0<F(x)<1 alors \mathbb P(X\in B_1)=F(x)>0 et \mathbb P(X\in B_2)=1-F(x)>0, donc
\mathbb P(X\in B_1)\mathbb P(X\in B_2)>0.
Or (X_n,X_{n+1}) converge presque sûrement et donc en loi vers (X,X). Et \mathbb P((X,X)\in\partial(B_1\times B_2))=\mathbb P(X=x)=0, donc toujours pas le résultat que j'ai mentionné au début,
\mathbb P((X_n,X_{n+1})\in B_1\times B_2)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\mathbb P((X,X)\in B_1\times B_2)=0.
Or par indépendance,
\mathbb P((X_n,X_{n+1})\in B_1\times B_2)=\mathbb P(X_n\in B_1)\mathbb P(X_{n+1}\in B_2)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\mathbb P(X\in B_1)\mathbb P(X\in B_2)>0,
ce qui est contradictoire, et invalide donc l'hypothèse que X n'est pas presque sûrement constant.

Au passage cette démonstration n'utilise que le fait que pour tout n\in\N, X_n et X_{n+1} sont indépendants, ce qui est plus faible que l'indépendance de toute la famille (X_n)_{n\in\N}.

Posté par
WilliamM007re : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 19:56

Ça c'était pour continuer avec les fonctions de répartition.

Une autre démo un peu plus courte, mais il faut être familier avec les fonctions caractéristiques. Je note \Phi_Y la fonction caractéristique d'une variable aléatoire Y. Soient (u,v)\in\R^2. Puisque (X_n,X_{n+1}) converge presque sûrement et donc en loi vers (X,X), on a
\Phi_{(X_n,X_{n+1})}(u,v)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\Phi_{(X,X)}(u,v).

D'autre part, par indépendance de (X_n,X_{n+1}) on a
\Phi_{(X_n,X_{n+1})}(u,v)=\Phi_{X_n}(u)\Phi_{X_{n+1}}(v)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\Phi_X(u)\Phi_X(v).

On en déduit que \Phi_{(X,X)}(u,v)=\Phi_X(u)\Phi_X(v), donc X est indépendante de X, ce qui implique que X est presque sûrement constante.

Encore une fois, cela n'utilise que le fait que pour tout n\in\N, X_n et X_{n+1} sont indépendantes.

Posté par
WilliamM007re : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 20:01

Juste pour précision, mon message précédent est à peu de choses près la démonstration d'un résultat plus fort, à savoir que l'indépendance se converse au travers de la limite presque sûre, c'est-à-dire que si (X_n)_{n\in\N} converge presque sûrement vers X, (Y_n)_{n\in\N} converge presque sûrement vers Y, et pour tout n\in\N, X_n et Y_n sont indépendantes, alors X et Y sont aussi indépendantes.

En posant Y_n=X_{n+1} on a donc immédiatement que X est indépendante d'elle-même, donc presque sûrement constante.

Posté par
sprifre : Limite de variables aléatoires indépendantes 01-04-21 à 22:55

Merci beaucoup WilliamM007 ! Je ne connaissais pas ce théorème mais merci pour la démonstration. J'ai étudié les fonctions caractéristiques et je crois que je suis plus à l'aise avec cette démonstration.
En tout cas merci pour votre aide à tous les deux !


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