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limite dérivé

Posté par
ferenc 26-12-11 à 19:14

bonjour,
soit f:\R\to\R la fonction définie par:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\sin(\frac{1}{x})&si\ x\notin\Q\\0&si\ x\in\Q\end{array}
Je veux maintenant étudier la dérivabilité en x_0=\frac{1}{\pi}

Pouvez vous me dire si mon raisonnement est juste ?

Soit \ell:\R\to\R,x\mapsto x^2\sin(\frac{1}{x}). Ainsi, \ell'(x)=2x\sin(\frac{1}{x}),\forall x\in\R et donc \ell'(\frac{1}{\pi})=1

De même considérons h:\R\to\R,x\mapsto 0 ainsi, h'(x)=0,\forall x\in\R et donc h'(\frac{1}{\pi})=0

Par densité de \R dans \Q, \exists(a_n)_{n=0}^\infty\subset\R\backslash\Q,(b_n)_{n=0}^\infty\subset\Q:\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\frac{1}{\pi}

Comme \lim_{x\to\frac{1}{\pi}}\ell'(x)=\ell'(\frac{1}{\pi}) on a que \ell'(\frac{1}{\pi})=1=\lim_{n\to\infty}\ell'(a_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{f(a_n)-f(\frac{1}{\pi})}{x-\frac{1}{\pi}}

De même, comme \lim_{x\to\frac{1}{\pi}}h'(x)=h'(\frac{1}{\pi}) on a que h'(\frac{1}{\pi})=0=\lim_{n\to\infty}h'(b_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{f(b_n)-f(\frac{1}{\pi})}{x-\frac{1}{\pi}}

Donc la limite n'existe pas et f n'est donc pas dérivable
----------
Q1) Cela vous semble juste ?

Q2) Pour mes deux dernière implication, elle me semble un peu bizzare et pas convaincante, qu'en pensez vous ?

merci

Posté par
Supernickre : limite dérivé 26-12-11 à 21:24

Euh non

de toute façon ça se voit à vue d'oeil que la dérivée existe

Posté par
ferencre : limite dérivé 26-12-11 à 21:26

ah bon, c'est à dire ?

Posté par
ferencre : limite dérivé 26-12-11 à 21:27

elle n'est pas dérivable en \frac{1}{\pi} j'en suis sûr !

Posté par
Supernickre : limite dérivé 26-12-11 à 21:58

bien sûr que si, on a même f'(1/pi) = 0 ...

Posté par
Supernickre : limite dérivé 26-12-11 à 22:01

ah non peut être pas en fait tu as ptet raison...
attends

Posté par
Supernickre : limite dérivé 26-12-11 à 22:05

ouais c'est bon tu t'es juste planté pour l'(x)


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