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Limite en 0

Posté par
Ramanujan 20-08-19 à 01:21

Bonsoir,

Je veux montrer en utilisant la définition que \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^{2n}} = + \infty

Il faut montrer que :

\forall M \in \R \ \exists \eta>0 \ \forall x \in \R^{*} \ (|x| \leq \eta \implies \dfrac{1}{x^{2n}} \geq M)

J'ai essayé plusieurs choses comme \eta= \min \{\dfrac{1}{M},1 \}mais sans succès. Mon problème principal étant que l'inégalité x^{2n} \leq x n'est vérifie que sur [0,1] mais pas sur [-1,0]

Posté par
jsvdbre : Limite en 0 20-08-19 à 01:55

Bah là c'est comme pour l'autre :

Si M > 0

\dfrac{1}{x^{2n}}>M \Leftrightarrow |x| < \dfrac{1}{M^{2n}} et donc tu prends \eta = \dfrac{1}{M^{2n}}

Si M \leq 0

tout \eta > 0 convient puisque la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x^{2n}} est positive

Posté par Profil amethystere : Limite en 0 20-08-19 à 01:57

Bonjour

tu peux te relire attentivement à partir de "il faut montrer que " et relire ta définition qui est dans ton livre et comparer les deux choses

tu ne vois pas un problème?

Posté par Profil amethystere : Limite en 0 20-08-19 à 01:58

ouuuups non c'est correct j'avais mal lu

Posté par
Ramanujanre : Limite en 0 20-08-19 à 02:46

Merci pour la réponse.

Pour M négatif j'ai compris. Par contre pour M>0 vous avez pas fait une coquille dans l'équivalence suivante ? Je trouve quelque chose de différent.

\dfrac{1}{x^{2n}}>M \Leftrightarrow |x| < \dfrac{1}{M^{2n}}


On a : \dfrac{1}{x^{2n}}>M \Leftrightarrow x^{2n} < \dfrac{1}{M}

Or \sqrt[2n]{x^{2n}}=|x|, ce qui donne par croissance de la fonction x \mapsto \sqrt[2n]{x^{2n}} sur \R^{+} :

\dfrac{1}{x^{2n}}>M \Leftrightarrow  |x| \leq  \dfrac{1}{\sqrt[2n]{M}}

Ainsi, il suffit de prendre \eta = \dfrac{1}{\sqrt[2n]{M}}  

Posté par
malou Webmasterre : Limite en 0 20-08-19 à 07:11

et sur l'autre site on peut lire un peu plus tard

Citation :
D'où provient l'égalité suivante : \forall x \in \R \ \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x| :


égalité qu'il emploie ici sans sourciller.

Cette pratique est intolérable
Marre que tu prennes tout le monde pour des pigeons.

Posté par
alb12re : Limite en 0 20-08-19 à 14:44

l'epidemie de Ramanujanite a encore fait des ravages !


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