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limite en +infini

Posté par
Denis79
09-11-23 à 20:38

Bonjour à tous,

Je dois trouver la limite de f(x)=ln(1-1/x)/ln(1+1/x) en +.

En faisant un DL au numérateur et denominateur, je trouve -1.

Pouvez me confirmer ce résultats svp ?

Par ailleurs j'ai aussi pensé à utiliser la règle de l'hospital.

Si je ne me trompe pas après simplification on trouve -\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} soit si x tend vers l'infini -1 également.

Là aussi, pouvez svp valider ce raisonnement ?

Merci par avance

Posté par
Zormuche
re : limite en +infini 09-11-23 à 21:40

Bonjour

Je trouve aussi -1 en faisant apparaître un taux d'accroissement d'une fonction dérivable (ce qui est assez équivalent au théorème de l'hopital, si je ne m'abuse) :

\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\lim_{X\to 0^+}\dfrac{\ln(1-X)}{\ln(1+X)}=\lim_{X\to 0^+}\dfrac{\ln(1-X)-\ln(1-0)}{1-0}\times\dfrac{1-0}{\ln(1+X)-\ln(1+0)}

Posté par
Denis79
re : limite en +infini 10-11-23 à 09:38

Très bien, merci bcp

Posté par
Ulmiere
re : limite en +infini 10-11-23 à 12:21

Tout cela est correct, mais si tu as trouvé cet exercice dans un sujet de prépa ou bac+2, ce qui est attendu est l'utilisation des équivalents \ln(1-1/x) \sim -1/x et \ln(1+1/x)\sim 1/x. En faisant la division, tu trouves effectivement une limite égale à -1.

Posté par
carpediem
re : limite en +infini 10-11-23 à 18:44

salut

Ulmiere @ 10-11-2023 à 12:21

ce qui est attendu est l'utilisation des équivalents
qu'en sais-tu ?

pour ma part j'aurai fait comme Zormuche, sans changement de variable et même à bac + vingt-douze !! en écrivant simplement :

\dfrac { \ln \left( 1 - \dfrac 1 x \right)}{\ln \left( 1 + \dfrac 1 x \right)} = -\dfrac { \dfrac { \ln \left( 1 - \dfrac 1 x \right) - \ln 1} {-\dfrac 1 x} }{ \dfrac { \ln \left( 1 + \dfrac 1 x \right) - \ln 1} {\dfrac 1 x} }

ce qui montre au passage la règle de L'Hospital (et entretien sa mémoire sur les démonstration de théorème) ... même s'il est bon d'enrichir son savoir par l'outil efficace dans ce cas des équivalents

Posté par
Denis79
re : limite en +infini 10-11-23 à 20:44

Merci pour ces précisions. Par contre Carpediem, je ne vois pas comment ta réécriture lève les indéterminations ? si x tend vers l'infini on arrive à 0/0 ? ou alors quelque chose m'échappe

Posté par
carpediem
re : limite en +infini 11-11-23 à 09:00

si x --> +00 alors 1/x --> 0

on a donc bien le quotient de deux taux de variation de la fonction x --> ln x en 1

Posté par
Denis79
re : limite en +infini 11-11-23 à 14:35

Merci, mais je ne comprends toujours pas comment conclure...desolé Carpediem, qq chose m'echappe

Posté par
carpediem
re : limite en +infini 11-11-23 à 17:40

le comportement de \dfrac { \ln \left( 1 + \dfrac 1 x \right) - \ln 1} {\dfrac 1 x} quand x tend vers +oo est le même que le comportement de \dfrac { \ln \left( 1 + h \right) - \ln 1} h quand h tend vers 0

puisque h = 1/ x => (x --> +oo <=> h --> 0)

Posté par
Denis79
re : limite en +infini 11-11-23 à 18:33

Merci pour ces éclaircissement Carpediem

Posté par
carpediem
re : limite en +infini 11-11-23 à 18:59

de rien



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