Niveau Maths sup

limite-équivalent

Posté par Schro (invité) 23-11-07 à 20:49

Bonsoir!
J'ai un DS de math demain et notre professeur nous a donné une liste de petits exercices à faire pour nous entraîner. Il nous a donné les réponses mais non expliquées... Et je n'arrive pas du tout à trouver la limite de [3*2^(1/n) - 2*3^(1/n] ^n
Pourriez vous me donner une piste pour commencer à arranger cette expression? (je suis sensé faire ce genre de question en 2 min maximum et j'y suis depuis 30 min...)
Merci

Posté par re : limite-équivalent 23-11-07 à 22:00

Bonsoir

Qu'est-ce que tu ne comprends pas? Il suffit juste de faire des équivalents à outrance!

Posté par re : limite-équivalent. 23-11-07 à 22:08

Bonsoir ;

Pour tout réel $x$ notons $\fbox{f(x)=3.2^x-2.3^x=3.e^{x\ell n(2)}-2.e^{x\ell n(3)}}$ , il est clair que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
et que pour tout réel $x$ , $\fbox{f'(x)=3.\ell n(2).2^x-2.\ell n(3).3^x}$ et qu'en particulier on a ,
$\fbox{\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)}$ ou encore en posant $\fbox{x=\frac{1}{n}}$ , $2$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}n\left(3.2^{\frac{1}{n}}-2.3^{\frac{1}{n}}-1\right)=3\ell n(2)-2\ell n(3)}$
maintenant il ne reste plus qu'à utiliser que $\ell n(x)\sim x-1$ en $1$ pour dire que $2$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}n.\ell n\left(3.2^{\frac{1}{n}}-2.3^{\frac{1}{n}}\right)=3\ell n(2)-2\ell n(3)}$
et donc que $3$\blue\fbox{\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}\left(3.2^{\frac{1}{n}}-2.3^{\frac{1}{n}}\right)^n=e^{3\ell n(2)-2\ell n(3)}=\frac{8}{9}}$ _{(sauf erreur bien entendu)}

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