image exercice et correction

Bonjour,
Merci de recopierl'énoncé de l'exercice et de mettre à jour ton profil.
Le message de 23h22 était pénible à lire car pas aéré, sans passage à la ligne.
Et sans doute non relu à l'aide du bouton "Aperçu".
Quant aux images, elles semblent être dans le désordre et fatigantes à décrypter.

Ne te serais-tu pas mélangé les pinceaux dans les numéros d'exercice ?
Exercice 3 ou exercice 4 ?

Bonjour ;
1) Oui, vous avez raison par rapport à l'aeration du message, pardonnez moi.

2)Non, le numéro de l'exercice (n°3) dans la correctiondans la deuxième image n'a rien à voir avec l'énoncé de l'exercice en bleu dans la première image.

3)Je ré-itère mon incompréhension:

Exercice:

Soit f : R \ {1/3} → R telle que f(x) = (2x+3)\(3x−1)
Pour tout  ε> 0 déterminer α tel que,

        (x 6= 1/3 et |x| ≤ δ ) =⇒ |f(x) + 3| ≤ ε .

Que peut-on en conclure ?

Je m'étais dit que l,on pouvait "simplement" résoudre l'inégalité |f(x) + 3| ≤ ε  en remplacant l'expression de f(x) ainsi, l'inégalité obtenue est :
  |x|≤  ε(|3x-1|)\11.

Or,   ε(|3x-1|)\11 >0 car x n'est pas égal à 1/3 et |x|≤δ  tel que δ>0.

Mais, d'après la définition,  avec les inégalités au sens larges :
  ∀ε>0      ,∃δ>0,  ∀x∈R, |x−a|⩽δ  ⟹  |f(x)−l|⩽ε          est vrai.

Donc, si x!=1/3 et |x|≤δ avec δ= ε(|3x-1|)\11 >0 .  Cela implique que  ∀ε>0      ,∃δ>0,  ∀x∈R, |x|⩽δ  ⟹  |f(x)+3|⩽ε          est vrai avec δ  trouvé.

Ainsi,  la limite de f(x) en 0 est -3 . Le raisonnement esst il correct et ne comporte t'il pas de fautes?

Pardon, j'ai juste remarqué une faute de frappe daans mon énoncé,  je ne voulaias pas écrire alpha.

Exercice:

Soit f : R \ {1/3} → R telle que f(x) = (2x+3)\(3x−1)
Pour tout  ε> 0 déterminer δ tel que,

        (x 6= 1/3 et |x| ≤ δ ) =⇒ |f(x) + 3| ≤ ε .

Que peut-on en conclure ?

Tu écris ceci : δ = ε(|3x-1|)\11
Or il faut trouver un δ indépendant de x.

Ah! Merci de votre réponse mais comment trouver un x permettant de satisfaire le δ  alors que la fonction est définie sur R?

Le sait-on grâce à la condition du début?
Soit x!=1\3?

Je réponds à

Une fois choisie cette condition |x| < 1/6 , on regarde ce que ça donne en utilisant un encadrement de |3x-1| .
-1/6 < x < 1/6 implique |3x-1| > 1/2 .
Donc |f(x) + 3| < 2|11x| .

Pour que |f(x) + 3| <
il suffit donc que |x| < 1/6 et 2|11x| < .

Ok super merci!
Mais du coup comme vous aviez dit cela marche aussi avec x=1\4 par exemple:
Soit δ=(3ε+12)\44
Et ainsi on prend δ=min(1\4, (3ε+12)\44) lorsque l'on veut |x|⩽δ

C'est bien cela?

C'est x < 1/4 que tu voulais dire ?

Ton 3+12 ne va pas.

3ε-12 pardon, il suffisait de savoir que δ ; n'étant pas égal à 1\3 dans la condition de départ avec |x|<= δ  , x doit forcément être une valeur en dessous?

3-12 ne va pas non plus.

1/4, 1/6 ou 1/2025 conviennent comme choix pour démarrer car, par exemple,
|x| < 1/4 -1/4 < x < 1/4 3x < 3/4 3x-1 < -1/4 3x-1 0.
Idem avec 1/6 ou 1/2025.

Je poursuis en choisissant 1/4 :
On cherche à majorer |f(x)+3| qui est égal à |11x|/|3x-1| pour le rendre inférieur à .
|3x-1| > 1/4 ; donc |11x|/|3x-1| < |44x|
Pour que |f(x)+3| < il suffit que |x| < 1/4 et |44x| < .
D'où min(1/4, /44) qui convient pour .

Et si maintenant je prend |x|<=1\4 ;    mais que δ=|ε((3x-1)|\11 avec x=1\2025 par exemple ;
Et que ainsi, je prenne δ=min(1\4,δ), cela marche donc aussi?
Car je ne comprend pas le fait que si l'on prend |x|<=1\4, pourquoi on devrait prendre le même x pour le calcul de la valeur de δ.

Je n'arrive pas à comprendre ton message de 1h04.
Je pense que tu n'avais pas compris mon message de 15h32.

Je reexplique la démarche avec 1/4 et en utilisant d et e à la place de et .
Il s'agit de trouver une condition sur x de la forme |x| < d qui entraine |11x/(3x-1)| < e .

1)a) Si |x| < 1/4 alors |3x-1| > 1/4 .
1)b) Donc, si |x| < 1/4 alors |11x/(3x-1)| < 44|x| .
1)c) Pour que |11x/(3x-1)| < e , il suffit donc que 44|x| < e .

2)a) D'après 1), si |x| < 1/4 et |x| < e/44 alors |11x/(3x-1)| < e .
2)b) Donc, si |x| < min(1/4, e/44) alors |11x/(3x-1)| < e .
Conclusion : min(1/4, e/44) convient pour d .

Précise quelles lignes te posent problème.

AAh ok je n'avais pas compris mais du coup pour d il  faut une condition suffisante ;
Et aussi, on prend une valeur arbitraire tant que celle ci est inferieure à 1\3 car si c'est une valeur superieure, soit d>1\3, alors lorsque |x|<d, |x| peut etre égal à 1\3 est ce bien cela?
On prend donc un intervalle pour x qui respecte le fait que pour tout x appartenant à [-1\4,1\4], celui ci n'est jamais égal à 1\3 lorsque x<d.

et pour que d soit une condition suffisante, on prend le plus grand abscisse x de l'intervalle [-1\4,1\4] tq x=1\4 pour avoir d

et vu que on a |x|<1\4, on modifie pour avoir le dénominateur, on voit qu'il n'est jamais égal à 0 pour tout |x|<1\4 ;

Du coup on voit la condition nécessaire pour que |f(x)+3|<e; on voit que  |f(x)+3|<44|x| pour tout x valables tel que |x|<1\4,

puis on explique que pour que la condition  |f(x)+3|<e soit  respectée, il suffit que 44|x|<e avec un seul |x|, ainsi on prend d=min(1\4,e\44) car si 1\4 est dépassé par e\44, alors |x|<1\4 convient aussi merci de votre explication cordialement ;
Pour n'avoir que un seul |x| et faciliter le resultat, on fait en sorte que chaque |x|<1\4 fassent en sorte que  |f(x)+3| soit inferieur à une seul valeur avec |x| et ainsi trouveer une condition nécéssaire et simple a calculer pour que  |f(x)+3|<nb<e , et faire attention que chaque |x| soient valables dans l'intervalle choisi