Bonjour
Tu peux commencer par poser x=1/t (histoire de revenir en 0)
et utiliser

(remarque : le x de la deuxième ligne n'a rien à voir avec celui de la première ...)

f(t) = t.(sin(1/t))^t²

Poser t = 1/x

lim(t -> +oo) f(t) = lim(x-> 0+) [(1/x).(sin(x))^(1/x²)]

= lim(x-> 0+) [(1/x).(x - x²/3! + x^5/5! - ...)^(1/x²)]

= lim(x-> 0+) [(1/x).(x)^(1/x²)]

= lim(x-> 0+) [(x^(1/x² - 1)]

= lim(x-> 0+) [(x^(1/x² - 1)]

= lim(x-> 0+) [(x^(1/x²)]

h(x) = x^(1/x²)

ln(h(x)) = (1/x²).ln(x)

lim(x-> 0+) [ln(h(x))] = lim(x-> 0+) (1/x).(ln(x)/x) = -oo/0+ = -oo

--> lim(x -> 0+) h(x) = e^-oo = 0

lim(t -> +oo) f(t) = 0
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Vérifie.  

Bonjour yocto ;
Quand la variable réelle tend vers , le réel tend vers par valeurs strictement positives et on peut donc écrire il faut maintenant remarquer en utilisant le de la fonction sinus que est équivalent en à et par suite que est équivalent en à (facile à vérifier) d'où est équivalent en à et comme est négligeable au voisinage de devant (facile à vérifier) on voit que est équivalent en à qui tend vers lorsque tend vers .
Conclusion : (sauf erreur)