Niveau école ingénieur

Limite factorielle sur puissances...

Posté par
deruedavid 21-09-08 à 18:10

Bonjour,

Je sèche pour calculer cette limite :

$8$\lim_{x\to +\infty}\frac{n!}{n^n}$

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci

Posté par re : Limite factorielle sur puissances... 21-09-08 à 18:17

Salut

Voilà comment tu peux voir cette fraction :

$\frac{n!}{n^n}=\frac{\overbrace{n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1}^{n \text{ termes}}}{\underbrace{n \times n \times ... \times n \times n}_{n \text{ termes}}$

$=\frac nn \times \frac{n-1}{n} \times ... \times \frac 2n \times \frac 1n$

Posté par re : Limite factorielle sur puissances... 21-09-08 à 18:21

Ok j'avais pensé à décomposer la fraction mais pas assez...

Si je comprends bien la limite est donc 1 x 0 x 0 .... = 0

Merci de ton aide !

Posté par re : Limite factorielle sur puissances... 21-09-08 à 18:33

Hmmm en fait, pas vraiment 1x0x0... mais les limites de fin sont 0 voui et ça suffit à dire que la limite totale est 0.

Une autre façon de faire est de se servir de l'approximation de Stirling pour la factorielle, au voisinage de l'infini :

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac ne\right)^n$

Posté par re : Limite factorielle sur puissances... 21-09-08 à 18:37

Oula je suis qu'en 1ere année d'école d'ingé, connais pas Stirling... mais merci quand même.

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