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limite finie

Posté par Kanak (invité) 30-03-06 à 23:59

bonsoir , Pouvez-vous m'aider ?

montrer que integrale de 0 à x de exp(-t²) dt a une limite finie quand x tend vers +l'infini.

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : limite finie 31-03-06 à 00:05

Bonsoir Kanak

La fonction \Large{f : x\mapsto \bigint_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt} est clairement croissante.
Pour montrer qu'elle admet une limite finie lorsque x tend vers \Large{+\infty}, il suffit de montrer qu'elle est bornée.

Kaiser

Posté par
disdrometrere : limite finie 31-03-06 à 00:13

bonsoir,

pour t> 1 e^{-t^2}<e^{-t}

donc pour tout x> 1

\int_{1}^{x}e^{-t^2}dt <\int_{1}^{x}e^{-t}dt

or et \int_{1}^{x}e^{-t}dt=(1/e-1/e^x)<1/e

donc F(x)=\int_{1}^{x}e^{-t^2}dt<1/e pour tout x>1
et F'(x)=e^{-x^2}>0 F est strictement croissante et bornée sur [1 ; +infini[
donc F a une  limite finie quand x tend vers +l'infini.

et \int_{0}^{1}e^{-t^2}dt est une constante


donc \int_{0}^{x}e^{-t^2}dt a une  limite finie quand x tend vers +l'infini

K.

Posté par Kanak (invité)re : limite finie 31-03-06 à 00:46

merci disdrometre

Posté par Kanak (invité)re : limite finie 31-03-06 à 00:51

tiens ! ne peut on pas en faire une déduction graphique.

Posté par johnrawls (invité)re : limite finie 31-03-06 à 12:00

J'ai une question concernant cet exercice. Kaiser, tu dis qu'il faut montrer qu'elle est bornée. Ne faut-il pas montrer qu'elle est majorée et c'est tout?
En tout cas, c'est ce que dit le théorème de la limite monotone appliqué aux fonctions dans ce cas-là. Dites-moi si je me trompe svp. Merci   

Posté par
kaiser Moderateurre : limite finie 31-03-06 à 22:54

Bonsoir à tous

Effectivement, dans ce cas, on a seulement besoin de montrer que la fonction est majorée.

Kaiser


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