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limite finie en l'infini

Posté par
Gecko87 12-12-22 à 01:07

Bonjour, j'essaie  de faire des  démonstrations sur les  limites. En utilisant les définitions et je n'arrive pas a isoler un x, à partir du qu'elle je peut donner un A tel que .

Pour tous  epsilon réels et >0 , il existe  un A>0 tel que si x appartient  au domaine de définition de f(x). Alors | f(x) - L | < epsilon . Dans le cas d'une limite fini en l'infini .  

   Lim        f(x) = (3x^2-1)/(x-2)^2  => 3
                     x => + l'infini

                                                  | (3x^2-1)/(x-2)^2 -3 | < epsilon
                                                  | 12x- 13 |/|(x-2)^2|     < epsilon
                                                  
Ma question est comment, je peut borner le numérateur ou le dénominateur .Pour pouvoir avancer ? si mieux si je m'y prend mal.

Merci

Posté par
GBZMre : limite finie en l'infini 12-12-22 à 09:40

Bonjour,

Ta définition est fautive : le A n'y joue aucun rôle. Corrige-la !

Dans ton exemple, si tu écris \dfrac{12x-13}{(x-2)^2}=\dfrac{12(x-2)+11}{(x-2)^2}, est-ce que ça ne t'aiderait pas pour trouver un A tel que x>A entraîne |f(x)-3|<\epsilon ?
Tu peux commencer par trouver un B tel que x>B entraîne 12(x-2)+11<13(x-2).

Dans la pratique on ne s'embête pas tant. En divisant numérateur et dénominateur par x^2, la fraction devient 3 fois quelque chose qui tend vers 1 (quand x tend vers +\infty) divisé par quelque chose qui tend vers 1.

Posté par
malou Webmasterre : limite finie en l'infini 12-12-22 à 12:26

Bonjour à tous les deux,

Gecko87, peux-tu préciser ton niveau, tu es en terminale ou en licence maths ?

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?


merci

Posté par
Gecko87re : limite finie en l'infini 12-12-22 à 15:00

Bonjour Malou, je suis en licence de maths 1er année  . Merci GBZM , mais votre réponse ne m'aide pas vraiment .Je n'arrive toujours pas à isoler x de epsilon .

Posté par
Gecko87re : limite finie en l'infini 12-12-22 à 15:06

Pour préciser, je sais bien trouvé la limite mais, je n'arrive pas à la démontrer selon la définition de mon cours .  

limite finie en l\'infini

Posté par
GBZMre : limite finie en l'infini 12-12-22 à 15:29

Tu vois bien que tu n'as pas recopié correctement la définition : le x>A qui est essentiel a disparu dans ta version !

Posté par
Gecko87re : limite finie en l'infini 12-12-22 à 15:45

en effet mais du coup je comprend pas . la méthode que j'ai appris consiste à partir de |f(x) -l | < epsilon , pour montrer une condition pour que x > A , A = k*epsilon    et k déterminer à partir de |f(x) -l | < epsilon .Ou je me suis trompé ?

Posté par
GBZMre : limite finie en l'infini 12-12-22 à 15:56

Tu ne t'es pas aperçu que je t'ai donné des indications plus haut  pour trouver un A tel que x>A entraîne \left|\dfrac{12x-13}{(x-2) ^2}\right| <\epsilon ?

Posté par
Gecko87re : limite finie en l'infini 12-12-22 à 16:04

Je suis désolé , mais non

Posté par
GBZMre : limite finie en l'infini 12-12-22 à 16:42

GBZM @ 12-12-2022 à 09:40

Dans ton exemple, si tu écris \dfrac{12x-13}{(x-2)^2}=\dfrac{12(x-2)+11}{(x-2)^2}, est-ce que ça ne t'aiderait pas pour trouver un A tel que x>A entraîne |f(x)-3|<\epsilon ?
Tu peux commencer par trouver un B tel que x>B entraîne 12(x-2)+11<13(x-2).

Posté par
Gecko87re : limite finie en l'infini 12-12-22 à 16:54

j'ai bien lu votre message, mais je ne vois pas ou vous voulez en venir.

Posté par
verdurinre : limite finie en l'infini 12-12-22 à 17:55

Bonsoir,
on peut commencer par un cas plus simple.

Disons que l'on veut démontrer à partir de la définition que \lim_{x\to+\infty}\frac{100}{41x}=0.

Pour ne pas se compliquer la vie on remarque que si x>0 alors 0<\frac{100}{41x}<\frac{100}{x}.

On donne >0 et on cherche A tel que x>A entraîne  \frac{100}{x}<\varepsilon.
Il me semble clair que A=\frac{100}\varepsilon convient.

On a : \forall \varepsilon\in\R^{*+}  x>\frac{100}\varepsilon\Rightarrow \left\lvert\frac{100}{41x}\right\rvert<\varepsilon .

Par définition \lim_{x\to+\infty}\frac{100}{41x}=0.

GBZM te donne des indications pour trouver A à partir de .
Au passage je serais partisan d'une majoration plus brutale du genre trouver a et b pour que 12x-13>ax et bx^2<(x-2)^2 pour x assez grand.

Posté par
GBZMre : limite finie en l'infini 12-12-22 à 18:05

Je veux en venir à trouver un A tel que x>A entraîne \left|\dfrac{12x-13}{(x-2)^2}\right|<\epsilon.
Je te propose d'abord de trouver un B tel que x> B entraîne 12x-13<13(x-2). Tu devrais savoir faire, non ?
Et pourquoi faire ça ? Parce qu'après il suffit de trouver un C tel que x>C entraîne \dfrac{13(x-2)}{(x-2)^2}= \dfrac{13}{x-2} < \epsilon. Tu devrais savoir faire aussi, non ?

Posté par
Gecko87re : limite finie en l'infini 12-12-22 à 23:49

Merci Verdurin, je comprend mieux  , GBZM je ne comprenais pas totalement ce que tu voulais dire.

Posté par
GBZMre : limite finie en l'infini 13-12-22 à 09:29

Donner plus d'indications serait faire à ta place. Je te laisse l'initiative. Il n'y a pas qu'une seule manière de faire, loin de là !

Posté par
verdurinre : limite finie en l'infini 13-12-22 à 17:32

Juste pour corriger une erreur de ma part :

Citation :
trouver a et b pour que \color{red}12x-13>ax et bx^2<(x-2)^2 pour x assez grand.

Je voulais écrire ax>12x-13.
Avec mes excuses


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