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Niveau Licence Maths 1e ann
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limite fonction 2 variables (coordonnées polaires)

Posté par
AltarysNael
16-04-24 à 20:48

Bonjour, jai une question sur la méthode des coordonnées polaires pour déterminer la limité de f(x,y) en 0,0, il nous est souvent suggérés de chercher la limité de f(rcos(θ),rsin(θ)) pour r tend vers 0, je ne comprends pas pourquoi sur certaines fonctions le simple fait de montrer que  f(rcos(θ),rsin(θ)) tend vers 0 suffit a montrer que f(x,y) tend vers 0 en 0,0, alors que pour d'autres, par exemple pour f(x,y) = x^5 + y^7 / (x^2 + y^3)^2 + x^6 , on peut remarquer que f(rcos(θ),rsin(θ)) tend vers O et pourtant f(t^3,t^2) tend vers l'infini quand t tend vers 0

Posté par
AltarysNael
re : limite fonction 2 variables (coordonnées polaires) 16-04-24 à 20:50

Par exemple, pour g(x,y) = xy(x^2-y^2) / (x^2+y^2), la méthode des coordonnées polaires suffit, quand est ce que :
lim f(rcos(θ),rsin(θ)) = 0 implique que f(x,y) = 0 en (0,0) ?

Posté par
jandri Correcteur
re : limite fonction 2 variables (coordonnées polaires) 16-04-24 à 22:59

Bonsoir,

le r des coordonnées polaires est la norme 2.
Comme les normes de \R^2 sont équivalentes le fait que la limite de f(rcos(θ),rsin(θ) quand r tend vers 0 soit nulle entraine que la limite de f(x,y) quand (x,y) tend vers 0 est aussi nulle.

Le contre-exemple avec  f(x,y) = x^5 + \dfrac{y^7 }{ (x^2 + y^3)^2 }+ x^6 n'en est pas un.

Posté par
luzak
re : limite fonction 2 variables (coordonnées polaires) 17-04-24 à 08:41

Bonjour !
Tu as raison jandri mais il n'est pas impossible qu'il s'agisse de f(x,y) = (x^5 + y^7) / ((x^2 + y^3)^2 + x^6) : erreur fréquente sur les demandes de ce forum !

Pour AltarysNael : si j'ai raison le passage en polaires ne donne pas la limite nulle que tu signales.

Posté par
jandri Correcteur
re : limite fonction 2 variables (coordonnées polaires) 17-04-24 à 09:15

@luzac
tu dois avoir raison puisque la fonction donnée par AltarysNael n'est pas définie au voisinage de (0,0) quand x^2+y^3=0.

Avec l'expression que tu donnes elle est bien définie mais elle n'a pas de limite en (0,0).



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