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Niveau Maths sup
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Limite fonction

Posté par
Altruiste21
11-04-24 à 21:40

Bonsoir à tous !
J'ai une fonction f définie à l'aide d'une intégrale.

f(x) = \int_{1/x}^{x}tdt/(t³-1)^{1/3}

Je veux calculer la limite de f en 1 pour etudier la continuité en ce point. Je veux utiliser la formule de la moyenne en me situant dans un voisinage de 1, de sorte qu'il existe c dans ]1/x, x[[ que
\ (1/x - x)g(c) = \int_{1/x}^{x}tdt/(t³-1)^{1/3}

En suite je calcule la limite à partir du premier membre de l'egalité.

Mon soucis c'est que pour appliquer la formule de la moyenne à f il faudrait déjà que f soit continue en 1.

Besoin d'éclaircissements SVP.

Posté par
LeHibou
re : Limite fonction 12-04-24 à 16:15

Bonjour,

En utilisant (t3-1) = (t-1)(t²+t+1), peux-tu étudier le comportement de l'intégrande au voisinage de t=1 ?

Posté par
carpediem
re : Limite fonction 12-04-24 à 19:18

salut

ce qui est tout de même gênant c'est que pour tout x > 0 :

0 < x \le 1 \le \dfrac 1 x $ ou $ 0 < \dfrac 1 x \le 1 \le x

et vu que le dénominateur s'annule en 1 ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Limite fonction 12-04-24 à 21:05

Bonjour

\bullet On peut déjà commencer par remarquer que l'intégrande \Large\boxed{g:t\mapsto\frac{t}{\sqrt[3]{t^3-1}}}

est définie et continue sur l'ensemble \Large\boxed{D=]0,1[\cup]1,2[}, avec \Large\boxed{\lim_{1^-}~g=-\infty~~,~~\lim_{1^+}~g=+\infty}


tout en gardant un signe constant sur chacun des deux intervalles ]0,1[ et ]1,2[.


\bullet Puis que \Large\boxed{g\sim_{1}\frac{1}{\sqrt[3]3\sqrt[3]{t-1}}} et donc que l'intégrale impropre \int_1^{.} g est convergente pour la borne impropre 1

ce qui implique que \Large\boxed{\lim_{x\to1}\int_1^x g(t)dt=0} ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Ulmiere
re : Limite fonction 12-04-24 à 21:21

Mouais...

Sinon, tu peux dire que f(x) + f(1/x) = 0 pour tout x strictement positif et faire tendre x vers 1

Posté par
Zormuche
re : Limite fonction 12-04-24 à 23:22

Ulmiere Je ne suis pas d'accord, ça ne prouve pas la continuité de f en 1

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Limite fonction 13-04-24 à 18:05

Effectivement Zormuche



L'argument de Ulmiere ne peut aboutir que si on a montré au préalable que f admet une limite en 1.

Par exemple ce même argument conduirait à \Large\boxed{\lim_{x\to1}\int_{\frac{1}{x}}^x\frac{t}{t-1}~dt~=~0} ! sauf erreur de ma part bien entendu



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