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limite intégrale avec une fonction périodique

Posté par ilovmath (invité) 18-02-07 à 16:44

bonjour,
j'ai des petits problèmes avec cet exercice, je vois pas trop comment commencer...

soit f une fonction continue de R dans R
et soit g une fonction de R* dans R telle que x-->1/x * (intégrale de 0 à x de f(t)dt)
1) il fallait montrer que g se prolonge par continuité en 0: j'ai compris
le 2) pose problème:
montrer que si f est périodique, g admet une limite en +

voila
je pense qu'il faut encadrer g pour pouvoir trouver la limite
et qu'il faut séparer l'intégrale suivant la période...
pouvez vous maider?
merci davance

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 16:48

Bonjour ilovemath

Effectivement, il faut découper ton intégrale.
Pour ce faire, si x est un réel strictement positif essaie de faire intervenir l'unique entier n vérifiant \Large{nT \leq x < (n+1)T} où T est une période de ta fonction.

Kaiser

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 16:58

il faut découper ou je peux aussi encadrer? en encadrant je trouve que l'intégrale est comprise entre f(nT) et f((n+1)T) or T période donc f(nT)=f((n+1)T)
dc l'intégrale est égale à f(nT)dc converge
c'est faux?

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 17:00

Je ne comprends pas comment tu aboutis à cet encadrement !

Kaiser

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 17:06

nTt<(n+1)T
dc f(nT)f(t)<f((n+1)T)
je passe à lintégrale
intégrale de 0 à x de f(nT)dt intégrale de 0 à x de f(t)dt<intégrale de 0 à x de f((n+1)T)dt
donc f(nT)g<f((n+1)T)
c'est faux?
je ne vois pas comment découper l'intégrale sinon...
merci encore

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 17:09

a non ca ne marche pas j'ai oublié de multiplier par 1/x ce qui me fausse tout..
comment découper alors?

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 17:10

Effectivement c'est faux car tu utilises que f est croissante ce qui est faux priori (d'ailleurs, une fonction périodique croissante est constante).

Sinon, tu peux commencer par découper ton intervalle [0,x] en intervalle de longueur T : [0,T], [2T,3T],...[(n-1)T,nT] et comme x n'est pas forcément nu multiple entier de T alors il reste éventuellement un autre intervalle dont la longueur est strictement inférieur à T : l'intervalle [nT,x]

Tu peux donc tranformer ton intégrale en une somme de n+1 intégrales.
Vois-tu je veux en venir ?

Kaiser

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 17:17

ok j'ai compris le découpage
pour lencadrement maintenant je majore et minore chaque terme?

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 17:22

je n'ai pas dit qu'il fallait encadrer (enfin pas tout de suite) !
Finalement, on se retrouve avec ça :

\Large{g(x)=\frac{1}{x}\(\bigsum_{k=0}^{n-1}\bigint_{kT}^{(k+1)T}f(t)dt\)+\frac{1}{x}\bigint_{nT}^{x}f(t)dt}

Maintenant, essaie de me dire ce que vaut \Large{\bigint_{kT}^{(k+1)T}f(t)dt} pour tout entier k.

Kaiser

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 17:23

je peux écrire que le decoupage des intégrales se résume à:
n * intégrale de 0 à T (de f(t)dt)+intégrale de nT à x (de f(t)dt)
?
je ne vois pas lencadrement possible apres...

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 17:28

C'est ça !
(bien sûr, il faut aussi diviser par x).
Autre chose : l'entier n dépend de x. exprime le en fonction de x.

Kaiser

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 17:31

dsl pour le msg au dessus je n'avais pas vu votre réponse...

comme la fonction f est périodique de période T
l'intégrale vaut :
l'intégrale de 0 à T de f(t)dt

ca doit pas etre ca car je ne vois pas ce que ca nous apporte
et je vois pas comment repondre vu que l'on a aucune information sur f dc pas de possibilité pour les primitives
je sais pas du tout

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 17:37

n dépend de x?
c'est sa partie entiere?on en déduit quoi?
merci

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 17:39

Aucun problème !

Citation :
ca doit pas etre ca car je ne vois pas ce que ca nous apporte et je vois pas comment repondre vu que l'on a aucune information sur f dc pas de possibilité pour les primitives


ben si c'est ça !
De plus, on nous demande uniquement de montrer que la limite existe et il n'y a pas besoin d'expliciter cette intégrale : on laisse cette intégrale tel quel.

Finalement, on a obtenu :

\Large{g(x)=\frac{n}{x}\bigint_{0}^{T}f(t)dt+\frac{1}{x}\bigint_{nT}^{x}f(t)dt}

On va d'abord s'occuper du deuxième terme : quel est sa limite et pourquoi ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 17:42

Citation :
n dépend de x?
c'est sa partie entiere?on en déduit quoi?


oui il dépend x. En effet, n vérifie l'inégalité \Large{nT%20\leq%20x%20%3C%20(n+1)T} donc n dépend clairement de x.
Ensuite, grâce à cette inégalité essaie de l'exprimer en fonction de x (il ya bien une histoire de partie entière mais ce n'est pas celle de x).

Kaiser

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 17:54

n est la partie entiere de (x/T)?
je narrive pas à trouver la limite du 2e terme...
la limite de 1/x est 0 , mais comment faire pour lintégrale de 0 à l'infini?

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 17:57

Citation :
n est la partie entiere de (x/T)?


oui !

Citation :
je narrive pas à trouver la limite du 2e terme...
la limite de 1/x est 0 , mais comment faire pour lintégrale de 0 à l'infini?


On ne va jusqu'à l'infini.
Essaie de majorer ce terme en te souvenant que x<(n+1) T.

Kaiser

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 18:02

sa limite est 0?
en majorant, je trouve que 1/x * intégrale de 0 à x de f(t)dt est strictement inférieure à 1/x * intégrale de 0 à (n+1)T f(t)dt
quand x tend vers infini, 1/x tend vers 0 dc la limite du majorant est 0
de plus intégrale positive? donc minorée par 0
dc sa limite est 0

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 18:07

c'est presque ça !
On ne peut pas majorer ça directement.
En effet, on doit majorer la valeur absolue de ce truc et rentrer la valeur absolue sous l'intégrale.
Ensuite, comme f est T-périodique, alors |f| l'est aussi et l'intégrale entre nT et (n+1)T est la même que celle entre 0 et T. qui est une constante.
Avec le 1/x en facteur, ça tend effectivement vers 0.

reste à calculer la limite du premier terme, c'est-à-dire :

\Large{\frac{n}{x}\bigint_{0}^{T}f(t)dt=\frac{E(\frac{x}{T})}{x}\bigint_{0}^{T}f(t)dt}

Que vaut-elle ?

Kaiser

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 18:53

je ne vois pas d'où sort l'intégrale entre nT et (n+1)T, en majorant je trouvais l'intégrale entre 0 et (n+1)T...
pourquoi utilise - t- on la valeur absolue?

en ce qui concerne la limite du 1er terme...
je trouve une indetermination entre E(x/T)/x (infini/infini)
lintégrale est quant à elle une constante

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 18:58

Citation :
je ne vois pas d'où sort l'intégrale entre nT et (n+1)T, en majorant je trouvais l'intégrale entre 0 et (n+1)T...
pourquoi utilise - t- on la valeur absolue?


Ah d'accord ,je n'avais pas vu, mais cette majoration est trop brutale. De plus, pour pouvoir conclure que ça tend vers 0, il faut majorer la valeur absolue sinon on ne peut absolument rien dire.
Ensuite, je dis que :

\Large{\|\bigint_{nT}^{x}f(t)dt\|\leq \bigint_{nT}^{x}|f(t)|dt\leq \bigint_{nT}^{(n+1)T}|f(t)|dt}

Citation :
en ce qui concerne la limite du 1er terme...
je trouve une indetermination entre E(x/T)/x (infini/infini)


C'est ici qu'il faut encadrer !

Kaiser

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 19:14

ok je vois

donc pour le 2e terme on a:
x<(n+1)T
dc intégrale de nT à x de valeur absolue( f(t)dt) < intégrale de nT à (n+1)T de valeur absolue (f(t)dt)
apres japplique votre inégalité
je multiplie par 1/x
ce qui me prouve que la limite de la valeur absolue de tte lintégrale est 0 dc celle de lintégrale est 0

pour le 1er terme:
il faut encadrer x ou E(x/t) ou les 2?
en faisant les 2 je trouve:
x/((n+1)T²)>E(x/t)/x>x/((n+1)T²)-1
dc la limite de lintégrale est celle de x?

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 19:17

Pour le deuxième terme, il ne faudra pas oublier de dire que l'intégrale est la même que sur [0,T].
Sinon c'est OK !

Par contre, pour le premier terme, il faudrait un encadrement seulement avec x et T (donc pas de n).

Kaiser

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 19:34

donc jencadre comme ca:
(1/T)-1/x<E(x/t)/x<1/T
mais j'ai plus de x dun coté la...

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 19:35

oui !
Où est le problème ?
Il ne reste plus qu'à passer à la limite et le tour sera joué !

Kaiser

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 19:37

aaa ok!!
donc à la fin la limite vaut 1/T en + infini c ca?

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 19:39

1/T * intégrale bien sur...

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 19:39

eh oui !
bien sur, il ne faut pas oublier l'intégrale qu'on a laissée en court de route et qui fait partie de la limite finale.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 19:39

ah OK ! posts-croisés !

Posté par ilovmath (invité)re : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 19:40

merci bcp de votre patiente car c'était dur!
bonne continuation et bonne soirée

Posté par
kaiser Moderateurre : limite intégrale avec une fonction périodique 18-02-07 à 19:40

Mais je t'en prie !
Bonne soirée à toi aussi !


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