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Niveau Maths sup
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limite niveau prépa

Posté par oeilus (invité) 07-04-07 à 11:38

Bonjour, je peine à faire cet exercice, pouvez vous m'aider?
Soit I un intervalle de R (longueur non nulle) xo un reel de I et f une application de I dans R dérivable en xo

Determiner la limite de (f^2(xo+3h)-f^2(xo-h))/h lorsque h tend vers 0.

d'avance merci

Posté par
ndiayettere : limite niveau prépa 07-04-07 à 12:22

Bonjour

As-tu essayé d'écrire le numérateurn comme (a-b)(a+b) puis de faire apparaitre les dérivées cad lim h tend vers 0 de (f(a+h)-f(a))/h=f'(a)?

Posté par
nomisre : limite niveau prépa 07-04-07 à 12:29

salut,
je suis pas en sup mais peut etre que j'ai une idée:
((f(xo+3h))²-(f(xo-h))²)/h =(f(xo+3h)+f(xo-h))(f(xo+3h)-f(xo-h))/h =(f(xo+3h)+f(xo-h))*(f(xo+3h)-f(xo-h))/h =
or f étant continue car dérivable en x0 on a : f(xo+3h)+f(xo-h) qui tend vers 2f(x0)
après il faut utiliser la forme de limite quand h tend vers 0 de (f(a+h)-f(a))/h=f'(a)

Posté par
Fractalre : limite niveau prépa 07-04-07 à 18:17

Bonjour,
As-tu essayé de faire un développement limité de f(x0+3h) et f(x0-h) en x0 à l'ordre 1 en utilisant la formule de Taylor-Young?

Fractal

Posté par oeilus (invité)re : limite niveau prépa 08-04-07 à 12:29

j'ai essayé .. et ça n'a toujours rien donné de mon côté

c'est le 3h qui me gène .. je ne sais pas comment l'utiliser ..


en tout cas merci pour vos réponses!

Posté par
Fractalre : limite niveau prépa 08-04-07 à 14:32

f est dérivable sur I, donc on a

3$f(x_0+3h)=f(x_0)+3hf'(x_0)+o(h)
3$f(x_0-h)=f(x_0)-hf'(x_0)+o(h)

On a alors 3$\frac{f^2(x_0+3h)-f^2(x_0-h)}{h}=\frac{(2f(x_0)+2hf'(x_0))(4hf'(x_0))+o(h^2)}{h}=8f(x_0)f'(x_0)+8hf'(x_0)+o(h)

On en déduit que 3$\fbox{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^2(x_0+3h)-f^2(x_0-h)}{h}=8f(x_0)f'(x_0)}

Sauf erreur

Fractal


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