Niveau Maths sup

Limite pour une fonction à plusieurs variables

Posté par
gigi800 14-01-17 à 02:51

Bonsoir,

Dans l'un de mes cours que je viens de voir, j'ai un théorème qui a été admis, mais je souhaiterai en faire la preuve ; mais je n'arrive pas à débuter :/

En voici l'énoncé :

Soient $f : A \subset X \longrightarrow Y$ une application, $M_0$ un point de $X$ et $Y_0$ .
Pour $X \in \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}^3, Y_0 \in \mathbb{R}^3$ et pour chaque $M \in A$ , notons $f_x (M), f_y (M)$ et $f_z (M)$ les coordonnées de $f(M)$ . Notons $x_0$ , $y_0$ et $z_0$ les coordonnées de $Y_0$ . Alors l'assertion $\lim\limits_{M \rightarrow M_0} f(M) = Y_0$ est équivalente à : \\
$\lim\limits_{M \rightarrow M_0} f_x (M) = x_0 \text{et} \lim\limits_{M \rightarrow M_0} f_y (M) = y_0 \text{et} \lim\limits_{M \rightarrow M_0} f_z (M) = z_0$

Le prof a juste indiqué : on pourra s'aider de la norme que l'on souhaite sur $Y = \mathbb{R}^3$ et revenir à la définition de la limite.

------

Définition de la limite :

$\forall \varepsilon>0\quad\exists \delta>0\quad\forall M \in \mathbb{R} \quad|{M - M_0}| < \delta \Rightarrow |f(M)-Y_0|<\varepsilon.$

Ai-je le droit décrire :

$|f(M)-Y_0|<\varepsilon \Leftrightarrow |(f_x(M),f_y(M),f_z(M))-(x_0,y_0,z_0)|<\varepsilon \Leftrightarrow$ ...

Je ne sais pas du tout, en réalité

GIGI.

Posté par re : Limite pour une fonction à plusieurs variables 14-01-17 à 09:42

Bonjour !

Citation :
Ai-je le droit décrire :

$|f(M)-Y_0|<\varepsilon \Leftrightarrow |(f_x(M),f_y(M),f_z(M))-(x_0,y_0,z_0)|<\varepsilon \Leftrightarrow$ ...

Presque ! Il vaudrait mieux écrire $\lVert f(M)-Y_0\rVert<\varepsilon \Leftrightarrow \lVert (f_x(M),f_y(M),f_z(M))-(x_0,y_0,z_0)\rVert<\varepsilon$

Puisque tu as le choix d'une norme, tu peux prendre $Y=(x,y,z)\implies\lVert Y\rVert=|x|+|y|+|z|$ .

Alors, $|f_x(M)-x_0|\leqslant\lVert f(M)-Y_0\rVert$ (idem pour les autres composantes et tu devrais t'en sortir).
En n'oubliant pas que, $\varepsilon$ étant arbitraire, il n'y a aucun inconvénient à manipuler $3\varepsilon$ ou $\dfrac{\varepsilon}3$

Posté par re : Limite pour une fonction à plusieurs variables 19-01-17 à 16:36

Bonjour,

Merci de votre réponse ;
j'ai donc rédigé cette démonstration ; je souhaiterais savoir si cela est correcte.

Définition de la limite :

$\forall \varepsilon>0\quad\exists \delta>0\quad\forall M \in \mathbb{R} \quad|{M - M_0}| < \delta \Rightarrow |f(M)-Y_0|<\varepsilon.$

$||f(M)-Y_0||<\varepsilon \Leftrightarrow ||(f_x(M),f_y(M),f_z(M))-(x_0,y_0,z_0)||<\varepsilon$

Soit $Y = (x,y,z)$ et soit la norme $||Y|| = |x| + |y| + |z|$ .
Ce qui nous donne $|f_x (M) - x_0| \leq || f(M) - Y_0 ||$
Sans difficulté, on obtient de même $|f_y (M) - y_0| \leq || f(M) - Y_0 ||$ et $|f_z (M) - z_0| \leq || f(M) - Y_0 ||$ .

Ainsi $|| f_x (M) - x_0 , f_y (M) - y_0 , f_z (M) - z_0|| = | f_x (M) - x_0 | + | f_y (M) - y_0 | + | f_z (M) - z_0 | \leq \varepsilon + \varepsilon + \varepsilon = 3 \varepsilon$ .

$\varepsilon$ étant arbitraire, on pose $3\varepsilon = \delta$

On obtient donc ce qu'on veut .

GIGI.

Posté par re : Limite pour une fonction à plusieurs variables 20-01-17 à 08:16

Bonjour !
Il n'est pas possible de savoir si tu démontres que la limite des vecteurs implique les limites pour les composantes ou la réciproque.
Tu devrais faire deux démonstrations séparées en disant clairement que tu pars de la limite de $f$ pour arriver aux limites des composantes $f_x\dots$ .
Pour cela il faudrait, après ton "Sans difficulté...", écrire la majoration par $\varepsilon$ des 3 valeurs absolues.

Ce que tu as fait (à partir de "Ainsi...") ressemble plus à la réciproque : si les composantes ont des limites alors la fonction vectorielle aussi, mais tu ne le dis pas clairement. Ne pas réutiliser la lettre $\delta$ tu tournes en rond...

En plus de ces précisions, on devrait voir clairement les implications du type $\lVert M-M_0\rVert<\delta\implies...$

Pour illustration, je te donne une des démonstrations :

On suppose que $\lim_{M\to M_0}f(M)=Y_0$ ce qui s'écrit :
$\forall\varepsilon\in\R_+^*,\;\exists\delta\in\R_+^*,\;\forall M\in E,\;\lVert M-M_0\rVert<\delta\implies\lVert f(M)-Y_0\rVert<\varepsilon.$
Comme $|f_x(M)-x_0|\leqslant\lVert f(M)-Y_0\rVert$ on a donc
$\forall\varepsilon\in\R_+^*,\;\exists\delta\in\R_+^*,\;\forall M\in E,\;\lVert M-M_0\rVert<\delta\implies |f_x(M)-x_0|<\varepsilon$ soit $\lim_{M\to M_0}f_x(M)=x_0$
Et de même pour les autres composantes.

C'est dans la deuxième démonstration que le $3\varepsilon$ va apparaître...

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