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limite problème en l'infini

Posté par
aze321 11-03-08 à 21:52

Bonjour,

comment démontrer que \lim_{x \to -\infty }-\frac{1}{2}\,{e^{-{\frac {-x+{\it moy}}{{\it EM}}}}}+\frac{1}{2} tends vers 0?
avec EM l'écart moyen et moy la moyenne des x_i?

cordialement,
jp

Posté par
Tigweg Correcteurre : limite problème en l'infini 11-03-08 à 22:16

Bonsoir,

qu'est-ce que x par rapport aux x_i?

Tigweg

Posté par
aze321re : limite problème en l'infini 11-03-08 à 22:39

Bonjour Tigweg! (merci pour ton aide)

x est l'un des x_i.
En fait la moyenne moy=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i) et l'écart moyen EM=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(|x_i-moy|) varient bien en fonction des x_i qui dépendent tous d'une même loi et je dois démontrer que lorsque l'un de ces x_i tend vers - \infty alors \lim_{x \to -\infty }\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} e^{\frac {x-moy}{EM}\right) tends vers 0.

cordialement,
jp

Posté par
Tigweg Correcteurre : limite problème en l'infini 11-03-08 à 22:52

Je t'en prie!

Peux-tu donner un énoncé précis s'il-te-plaît?

Est-ce un problème de probas (vu que tu parles de loi des xi)?
Ou alors, l'un des xi (disons x_1) tend vers -\infty à x_2;...;x_n fixés?

Posté par
aze321re : limite problème en l'infini 11-03-08 à 23:08

Soit X une variable aléatoire

de moyenne moy=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i)

d'ecart moyen EM=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(|x_i-moy|)

suivant une loi f(x)=\frac{1}{2*EM}*e^{\left(-\frac{|x-moy|}{EM}\right)}

Montrez que \int_{ - \infty }^{ + \infty }f(x)=1 .

Posté par
robby3re : limite problème en l'infini 11-03-08 à 23:18

Salut tout deux,
on peut pas dire que c'est la densité d'une loi normale ??
enfin ça y ressemble...
j'ai pas le temps de regarder maintenant,mais réfléchis y.

Posté par
aze321re : limite problème en l'infini 11-03-08 à 23:45

Salut robby3,

C'est vrai ça ressemble bien à la loi normale sauf que ça n'a pas les mêmes propriétés, par exemple la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0, mais ça ne résoud pas le problème: comment montrer le lien pour arriver sur une loi normale (qui comme on le sait à une densité =1).

Pour ma part j'ai commencer par faire l'intégrale de f(x) et comme la fonction valeur absolue me dérangé j'ai décomposé mon intégrale en deux partie:

\int_{ - \infty }^{ + \infty }f(x)=\int_{ - \infty }^{ moy }\left(\frac{1}{2*EM}*exp(\frac{moy-x}{EM})\right)+\int_{ moy }^{ +\infty }\left(\frac{1}{2*EM}*exp(\frac{x-moy}{EM})\right)

jp

Posté par
Tigweg Correcteurre : limite problème en l'infini 12-03-08 à 16:52

Je suis désolé mais vraiment l'énoncé n'est pas clair.

La moyenne est un nombre fixe, il ne peut pas dépendre de variables aléatoires!
De même, la densité f est mal définie, ce n'est pas une fonction de x!

Ou alors tu as mal compris et il n'y a aucun x_i.
C'est une loi continue, pas discrète me semble-t-il.

Dans ce cas, la moyenne m est l'espérance de X et l'écart moyen est l'intégrale de |X-m|.
Alors l'énoncé a bien un sens, mais x n'est pas l'un des x_i, c'est la variable d'intégration!


Tigweg

Posté par
aze321re : limite problème en l'infini 12-03-08 à 22:16

Bonsoir Tigweg,

Oui tu as raison, c'est bien ça l'énoncé:
la moyenne m est l'espérance de X et l'écart moyen est l'intégrale de  |X-m|.
mais x, n'est pas l'un des x_i, c'est la variable d'intégration!
désolé,

jp

Posté par
Tigweg Correcteurre : limite problème en l'infini 12-03-08 à 22:32

Bonsoir jp!

Ah là là, si les mathîliens postaient systématiquement leur sujet complet et précis, ce serait tellement plus facile!

Alors il suffit de scinder l'intégrale en deux pour x > moy et pour x < moy.

On se débarrasse ainsi des valeurs absolues, puis on intègre et on trouve 1...Ca marche très bien!

Je vais me coucher, je regarderai demain si tu as trouvé!


Tigweg

Posté par
aze321re : limite problème en l'infini 12-03-08 à 23:05

Merci Tigweg,

C'est bon ! J'ai réussi et grâce à toi! C'est bon d'échanger avec quelqu'un car lorsque l'on est tout seul noyé dans son sujet on a du mal à avoir assez de recul!

Merci encore et bonne nuit!

jp

Posté par
Tigweg Correcteurre : limite problème en l'infini 12-03-08 à 23:07

Heureux d'avoir pu t'aider, bonne nuit!

Tigweg


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