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Limite suite complexe

Posté par
Ramanujan 12-08-19 à 18:10

Bonjour,

Soit \theta \in \R et n \in \N.
On a : u_n = Re \left(  \dfrac{1-\exp\dfrac{i (n+1) \theta}{2^{n+1}}}{1-\exp \dfrac{i \theta}{2}} \right)

Montrer que \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=\dfrac{4-2 \cos(\theta)}{5-4 \cos(\theta)}

Ai-je le droit de rentrer la limite dans la partie réelle ? Je ne vois pas de résultat du cours qui me permettrait de le faire

Posté par
carpediemre : Limite suite complexe 12-08-19 à 18:12

encore une fois un résultat sorti de derrière les fagots sans même donner l'énoncé initial ...

Posté par
Ramanujanre : Limite suite complexe 12-08-19 à 18:17

carpediem @ 12-08-2019 à 18:12

encore une fois un résultat sorti de derrière les fagots sans même donner l'énoncé initial ...


L'énoncé initial est inutile pour ma question.

Posté par
lionel52re : Limite suite complexe 12-08-19 à 18:19

Oui tu peux, et c'est même la question la plus intelligente que tu aies posé de la semaine. Ca vient du fait que l'application "partie réelle"  est continue dans un certain sens...

Posté par
lionel52re : Limite suite complexe 12-08-19 à 18:22

Après tu peux aussi exprimer u_n de façon plus simple avant de passer à la limite, ça évitera d'utiliser des théorèmes pas de ton niveau

Posté par
lionel52re : Limite suite complexe 12-08-19 à 18:24

Ou sinon simplement tu utilises le résultat que jtai fait démontrer dans la partie détente et que nous avons oublié tous les 2
Si zn tend vers z, Re(zn) tend vers Re(z)

Posté par
Ramanujanre : Limite suite complexe 12-08-19 à 18:51

Merci Lionel oui le théorème que vous avez mis dans la partie détente marche très bien ici

Calculons la limite de  \dfrac{1-\exp\dfrac{i (n+1) \theta}{2^{n+1}}}{1-\exp \dfrac{i \theta}{2}}

Remarquons que : |\exp\dfrac{i (n+1) \theta}{2^{n+1}}|=\dfrac{1}{2^{n+1}} \longrightarrow 0

D'après les opérations sur les limites : \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} Re \left( \dfrac{1-\exp\dfrac{i (n+1) \theta}{2^{n+1}}}{1-\exp \dfrac{i \theta}{2}} \right)= Re \left( \dfrac{1}{1-\exp \dfrac{i \theta}{2}} \right)

\dfrac{1}{1-\exp \dfrac{i \theta}{2}}=\dfrac{1}{\exp \dfrac{i \theta}{4}(\exp \dfrac{-i \theta}{4}-\exp \dfrac{i \theta}{4})}=\dfrac{i  \exp \dfrac{-i \theta}{4} }{2  \sin( \dfrac{ \theta}{4} )}

Je ne vois pas comment je peux arriver à \dfrac{4-2 \cos(\theta)}{5-4 \cos(\theta)}  

Posté par
lionel52re : Limite suite complexe 12-08-19 à 18:58

Non mais cherche pas tu tes trompé dans lenoncé de départ

Posté par
carpediemre : Limite suite complexe 12-08-19 à 18:59

Ramanujan @ 12-08-2019 à 18:51

Remarquons que : |\exp\dfrac{i (n+1) \theta}{2^{n+1}}|=\dfrac{1}{2^{n+1}} \longrightarrow 0
tu as le droit de remarquer toutes les conneries que tu veux ... mezalor ce n'est pas des mathématiques que tu fais !!!

il y a une différence entre \exp\dfrac{i (n+1) t}{2^{n+1}}  et \dfrac {\exp [i(n + 1)t]} {2^{n + 1}}

Posté par
carpediemre : Limite suite complexe 12-08-19 à 19:00

lionel52 @ 12-08-2019 à 18:58

Non mais cherche pas tu tes trompé dans lenoncé de départ
c'était évident ... d'où mon premier post ...

Posté par
Ramanujanre : Limite suite complexe 12-08-19 à 19:12

Soit n \in \N et \theta \in \R.

On pose u_n = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{\cos k \theta}{2^k}. Montrer que la suite (u_n) converge et calculer sa limite.

Il n'y a pas une erreur dans le corrigé sur la fin ?

** image supprimée **

Posté par
Ramanujanre : Limite suite complexe 12-08-19 à 19:13

carpediem @ 12-08-2019 à 18:59

Ramanujan @ 12-08-2019 à 18:51

Remarquons que : |\exp\dfrac{i (n+1) \theta}{2^{n+1}}|=\dfrac{1}{2^{n+1}} \longrightarrow 0
tu as le droit de remarquer toutes les conneries que tu veux ... mezalor ce n'est pas des mathématiques que tu fais !!!

il y a une différence entre \exp\dfrac{i (n+1) t}{2^{n+1}}  et \dfrac {\exp [i(n + 1)t]} {2^{n + 1}}


Oui j'ai écrit n'importe quoi

Posté par
carpediemre : Limite suite complexe 12-08-19 à 19:15

et voila !!!

mais quand vas-tu utiliser le bouton Aperçu sept fois plutôt qu'une afin de recopier exactement et contrôler ce que tu recopies !!!

comment veux-tu travailler avec rigueur ainsi ?

Posté par
Ramanujanre : Limite suite complexe 12-08-19 à 19:18

J'avais écrit n'importe quoi !

Il faut calculer la partie réelle de \dfrac{1}{1-\dfrac{e^{i \theta}}{2}}=\dfrac{2}{2-e^{i \theta}}

Je ne vois pas trop comment faire

Posté par
carpediemre : Limite suite complexe 12-08-19 à 19:20

ça veut dire quoi e^{it} ? ... puis "disparition" des i au dénominateur ...

Posté par
Ramanujanre : Limite suite complexe 12-08-19 à 19:42

2-e^{i \theta} = 2 -\cos(\theta) - i \sin(\theta)

Merci votre méthode marche parfaitement

J'avais tenté la factorisation par l'angle moitié sans succès alors que la forme trigo marche très bien.

Posté par
lionel52re : Limite suite complexe 12-08-19 à 19:44

Ramanujan est-ce que tu connais le principe de feuille et de stylo? Tu écris les choses sur un papier avant de poster?

Posté par
carpediemre : Limite suite complexe 12-08-19 à 19:48

c'est la méthode classique ...

de rien

Posté par
Ramanujanre : Limite suite complexe 12-08-19 à 19:51

lionel52 @ 12-08-2019 à 19:44

Ramanujan est-ce que tu connais le principe de feuille et de stylo? Tu écris les choses sur un papier avant de poster?


J'avais fait des calculs mais inutiles. J'étais parti sur la méthode de l'arc moitié j'ai fait une page de calcul pour rien.

Posté par
lionel52re : Limite suite complexe 12-08-19 à 19:53

Si t'avais écrit les choses correctement t'aurais pas mis le "/2" dans l'exponentielle mais bon j'sais pas comment tu vas faire quand tu seras prof tu vas aussi écrire une égalité sur deux fausse au tableau?

Posté par
malou Webmasterre : Limite suite complexe 12-08-19 à 19:59

Ramanujan, merci d'écrire l'énoncé correct afin que le sujet garde un intérêt

Posté par
Zrunre : Limite suite complexe 12-08-19 à 20:00

Ramanujan @ 12-08-2019 à 19:12

Soit n \in \N et \theta \in \R.

On pose u_n = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{\cos k \theta}{2^k}. Montrer que la suite (u_n) converge et calculer sa limite.


Recommence par calculer u_n

Posté par
Ramanujanre : Limite suite complexe 12-08-19 à 20:05

@Zrun

J'avais réussi  le calcul de u_n c'est juste la somme des termes d'une suite géométrique c'est facile.

Posté par
carpediemre : Limite suite complexe 12-08-19 à 20:10

pas tout à fait ...

Posté par
malou Webmasterre : Limite suite complexe 12-08-19 à 20:17

malou @ 12-08-2019 à 19:59

Ramanujan, merci d'écrire l'énoncé correct afin que le sujet garde un intérêt


Posté par
Zrunre : Limite suite complexe 12-08-19 à 20:29

Ramanujan @ 12-08-2019 à 20:05

@Zrun

J'avais réussi  le calcul de u_n c'est juste la somme des termes d'une suite géométrique c'est facile.

Ton expression n'est pas correcte il me semble (attention à ce qui est dans l'exponentielle et à ce qui n'y est pas  

Posté par
Ramanujanre : Limite suite complexe 12-08-19 à 20:33

Zrun @ 12-08-2019 à 20:29

on se calme avec les citations inutiles des posts juste au -dessus   


Oui j'ai galéré avec le latex, l'expression était lourde c'est faux ce qui est écrit mais j'ai compris.

Posté par
Ramanujanre : Limite suite complexe 12-08-19 à 20:33

Malou

L'énoncé exact est le suivant :

Soit n \in \N et \theta \in \R.

On pose u_n = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{\cos k \theta}{2^k}. Montrer que la suite (u_n) converge et calculer sa limite.

Mais le problème est résolu.


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