Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Limite topologie produit

Posté par
Kernelpanic 13-08-19 à 17:47

Bonjour à tous,

j'ai du mal à comprendre une démonstration. J'ai ceci comme définition :

"Soit $(X_i, \mathcal{T}_i)_{i \in I}$ une famille d'espaces topologiques, $X = \prod X_i$ le produit cartésien des $X_i$ , et $p_i : X \to X_i$ la projection canonique.

On appelle topologie produit des $\mathcal{T}_i$ la topologie initiale $\mathcal{T}$ sur X associée aux $p_i, X_i$ . Une base $\Sigma$ de $\mathcal{T}$ est

constituée des intersections $\bigcap_{i \in J}^{}{p_i^{-1}(\omega_i)}$ , où J est une partie finie de I, $w_i \in \mathcal{T}$ (je pense qu'il y a une coquille ici et que $w_i \in \mathcal{T}_i$ ) ; soit encore des $\prod_{i \in J} \omega_i \times \prod_{i \notin J} X_i$ appelés ouverts élémentaires [...]."

J'ai cette proposition :

"Soit $(E, \mathcal{F})$ un ensemble muni d'un filtre et $\varphi = ( \varphi_i ) : E \to X$ ; $\varphi$ converge vers $l = (l_i)$ si et seulement si chaque $\varphi_i$ converge vers $l_i$ ."

Démonstration :

" Si $\varphi$ tend vers $l$ , $\varphi_i = p_i \circ \varphi$ tend vers $p_i(l) = l_i$ ; si réciproquement chaque $\varphi_i$ tend vers $l_i$ , soit $V$ un

voisinage de $l$ ; $V$ contient un ouvert élémentaire $U = \prod_{i \in J} \omega_i \times \prod_{i \notin J} X_i$ contenant $l$ , donc $l_i \in \omega_i, i \in J$ ; pour

chaque $i \in J$ il existe $F_i \in \mathcal{F}$ tel que (*) $\varphi(F_i) \subset \omega_i$ ; soit $F = \bigcap_{i \in J}^{}{F_i}$ , $F \in \mathcal{F}$ comme intersection finie d'éléments de $\mathcal{F}$ , et $\varphi(\mathcal{F}) \subset U \subset V$ , donc $\varphi$ converge vers $l$ . "

(*) je pense qu'il y a aussi une coquille ici, et que c'est $\varphi_i(F_i) \subset \omega_i$ , et donc pour le coup je n'arrive pas à comprendre l'inclusion finale...

Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par re : Limite topologie produit 13-08-19 à 17:59

Bonjour Kernelpanic
Enfin un post qui parle de filtre pour les limites ; ça me fait plaisir.
Dommage que je sois à 1300m d'altitude ...

Posté par re : Limite topologie produit 13-08-19 à 18:09

Simplement, ce qu'il faut comprendre, c'est que la topologie que l'on appelle « produit « est la plus fine qui rende les projections canoniques continues.

Posté par re : Limite topologie produit 13-08-19 à 18:11

Pardon, la moins fine...

Posté par re : Limite topologie produit 13-08-19 à 18:12

Si on comprend cela, alors la proposition est quasiment une trivialité...

Posté par re : Limite topologie produit 13-08-19 à 18:23

Bonsoir jsvdb, profite bien du bon air frais à cette altitude

J'ai trouvé une preuve écrite, mais j'ai eu l'intuition en faisant quelques exemples. Et je vois ce que tu veux dire, ça me rappelle une petite propriété universelle sur les topologies initiales associées à des X_i, f_i par rapport à la continuité.

Bonne soirée jsvdb !

Posté par re : Limite topologie produit 13-08-19 à 18:33

Bonsoir,

Effectivement les deux coquilles que tu as relevées en sont bien.

Soit $x\in F$ . Pour tout $i$ , $\varphi_i(x)\in X_i$ , là je ne pense pas t'apprendre grand chose. Si $i\in J$ , alors $x\in F_i$ donc $\varphi_i(x)\in\omega_i$ . Donc
$\varphi(x)=(\varphi_i(x))_i\in\prod_{i\in J}\omega_i\times\prod_{i\notin J}X_i$ ,
c'est-à-dire $\varphi(x)\in U$ , et ce pour tout $x\in F$ . Autrement dit, $\varphi(F)\subset U$ .

Est-ce plus clair ?

Posté par re : Limite topologie produit 13-08-19 à 18:35

Bonsoir WilliamM007, merci beaucoup. C'est en effet plus clair, et beaucoup plus concis et simple que ma preuve.

Bonne soirée.

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