Bonjour,

Tu peux essayer les développements limités : cela fonctionne bien ici.

Nicolas

Oui ca marche très bien, notamment il suffit de se rappeler que se comporte comme px quand x est petit.
Notamment ici ca devient (2x-3x)/x² pour x petit, donc quand x tend vers 0 ca devient lim de -1/x quand x tend vers 0.
A+

otto, es-tu bien sûr de toi ?

Je croyais que se comportait comme quand x est petit.

Donc, ici, cela ne permet pas de conclure, puisque les constantes et les termes en s'annulent au numérateur. Il faut donc développer jusqu'aux termes en .

Du moins, je crois.

Nicolas

Non bien sur tu as raison, c'est une erreur de ma part et j'en fais beaucoup trop en ce moment, cependant ca ne change rien:
1+2x-1-3x=-x
A moins que je me trompe encore une fois...
A+

J'ai bien peur que oui : au voisinage de 0, se comporte comme , soit

En utilisant le fait qu'au voisinage de 0,

on obtient sauf erreur une limite de 1/2.

Nicolas

Je me trompe encore une fois (besoin de vacances...)
J'ai tout mélangé, les racines cubiques et carrées, les 2x et les 3x, il faudrait que je refasse tout depuis le début.

Ici tu as raison ca ne fonctionne pas, en plus des erreurs débiles que je faisais, j'en faisais une énorme, je considérais la puissance 2 au lieu de la puissance 1/2...
Bref la limite est 1/2 si on utilise ta méthode (ordre) qui est bonne.
Décidemment...
J'espère ne pas m'être planté à nouveau, ce serait la honte...
A+

Oui j'ai vu, décidemment, je devrais me reposer
Merci.
A+

lim(x->0) [(1+2x)^(1/2)-(1+3x)^(1/3)]/x²
est de la forme 0/0 --> Application de la règle de Lhospital.

lim(x->0) [(1+2x)^(1/2)-(1+3x)^(1/3)]/x² = lim(x->0) [(1+2x)^(-1/2)-(1+3x)^(-2/3)]/2x
est de la forme 0/0 --> Application de la règle de Lhospital.

lim(x->0) [(1+2x)^(-1/2)-(1+3x)^(-2/3)]/2x = lim(x->0) [-(1+2x)^(-3/2)+2(1+3x)^(-5/3)]/2 = (-1+2)/2 = 1/2

lim(x->0) [(1+2x)^(1/2)-(1+3x)^(1/3)]/x² = 1/2
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Sauf distraction.  

(Note la règle du Marquis de LHospital n'est malheureusement plus guère enseignée).

Ou bien, en utilisant le développement limité ci-dessus, on obtient :
Au voisinage de 0,
expression de départ =

Nicolas

Le problème pour la règle de l'Hôpital, est qu'il faut des hypothèses plus fortes que l'on ne pense, et les étudiants ou les élèves l'utilisent souvent mal.
C'est probablement l'une des raisons qui fait qu'elle n'est plus enseignée.
A+ et désolé pour mes erreurs successives et (trop) nombreuses.

Oui otto, la règle de Lhospital exige que certaines conditions soient respectées pour pouvoir l'utiliser.
Ce n'est pas une raison pour l'oublier.

Pour qu'un développement limité puisse être représentatif d'une fonction lors du calcul d'une limite, il faut aussi que certaines conditions soient respectées.
Il ne m'étonnerait pas que beaucoup d'étudiants oublient aussi de vérifier ces conditions, mais ce n'est pas une raison pour ne pas utiliser les DL de manière adéquate.

Idem pour la règle du Marquis dont je suis un fervent adepte.

Moi de même, moi de même...
Je ne faisais que ressortir les arguments que j'entend souvent ..
A+