salut

donc tu travailles sur R et K = R et donc une partie de R

une fonction uniformément continues étant continues pense-tu qu'il y ait un pb à écrire partie au lieu d'intervalle ?

ta démonstration n'est-elle pas valable sur tout intervalle inclus dans X ?

imagine que tu travailles sur X = [0, 1] U ]1, 2]. Peut-il y a avoir un pb ?

Écrire partie au lieu d'intervalle, je pense pas que ce soit trop gênant, cela dit plus j'y réfléchis moins c'est clair.
Surtout qu'il me semblait que ce n'était pas la même chose de raisonner sur un segment (ce que j'ai l'impression de faire) que sur un intervalle quand il s'agit de la continuité uniforme.

D'après votre formulation, je suppose que si, mais je vois pas pourquoi c'est vrai.

Je me dis que non, vu les hypothèses de départ mais j'ai du mal à m'en convaincre. De plus, je ne suis même plus très sûr à propos de ce que je dois démontrer. Car intuitivement, j'ai pas l'impression que ce soit impossible de trouver en se plaçant sur X = R, une suite de fonctions continues uniformément et qui converge uniformément vers x² qui n'est pas uniformément continue sur R.

Je me permet de faire remonter mon problème.

Bonsoir,

pour carpediem j'ai plus l'impression ici que K = R ou C, les segments évoqués par IoAo proviennent de ses recherches sur internet. Mais bien sûr, ça ne change rien du tout au fond de ton message !

Pour IoAo, quand on travaille sur un segment, on travaille sur un compact. Sur un compact, continue et uniformément continue c'est la même chose, et on sait qu'une limite uniforme d'une suite de fonctions continues est une fonction continue, donc si tu te places sur X = un compact de R ou C (en particulier un segment de R si on veut), bah il n'y a rien de plus à prouver, le résultat va découler du théorème de Heine. Ici on se donne une partie X totalement quelconque, le résultat est moins trivial... et alors là je te renvoie au message de carpediem.

Bonne soirée

Merci pour la réponse ! (en effet K = R ou C). Cependant, je ne suis toujours pas certain de bien comprendre.
Enfin, pour ce qui est du côté segment ou plus largement des compacts, je crois que je comprend mieux (j'ai encore tout à fait vu les compacts pour tout dire). Ce qu'il y a c'est qu'au niveau d'une partie totalement quelconque, je ne comprend pas si ce que j'ai rédigé suffit, et je suppose que non du coup.
Parce que s'il faut faire plus de précision, je ne vois pas vraiment quelle direction prendre même en me basant sur la réponse de carpediem,

Désolé pour les compacts, la notion arrivera bientôt, en tout cas dans R (respectivement C) ce sont les parties fermées et bornées pour la valeur absolue (respectivement le module). C'est déjà bien de se poser des questions sur les hypothèses d'une proposition. Ce que tu as fait est entièrement suffisant, je ne comprends pas pourquoi tu n'en es pas convaincu.

Je fais une relecture rapide de tes messages et j'essaye de répondre à quelques points.


"Il me semblait que ce n'était pas la même chose de raisonner sur un segment (ce que j'ai l'impression de faire) que sur un intervalle quand il s'agit de la continuité uniforme."

Généralement dans les énoncés, on se place dans un segment pour éviter des discussions sur les sup (en valeur absolue) de fonctions définies dessus qui peuvent être éventuellement infinis (puisqu'une fonction continue sur un segment y est bornée)

"Je me dis qu'il y a du coup sans doute un problème pour les ouverts."

Comme dit précédemment, si l'on raisonne sur des segments, la continuité d'une fonction est équivalente à l'uniforme continuité de celle-ci, donc la proposition que tu cherches à démontrer est plutôt simple (modulo le théorème de Heine). Justement, sur des ouverts, on ne peut pas appliquer ces arguments. Dans ta preuve, on fait intervenir la notion d'ouverts/de fermés/de compacts ? Non. Est-ce que ta preuve est correcte ? Oui. Conclusion : ta preuve est la plus générale et démontre que le résultat est vrai pour toute partie de X.

"J'ai pas l'impression que ce soit impossible de trouver en se plaçant sur X = R, une suite de fonctions continues uniformément et qui converge uniformément vers x² qui n'est pas uniformément continue sur R."

L'intuition ne fait pas tout, sinon les paradoxes n'existeraient pas . Tu peux chercher (et je t'invite à le faire), tu ne pourras pas trouver de telle suite (justement à cause de la proposition démontrée).

Si c'est vraiment cette histoire de se placer sur un segment qui te fait des nœuds au cerveau, retiens simplement que c'est un cadre sympa pour formuler des énoncés mais c'est tout en général (dans ce cas précis). J'espère t'avoir convaincu dans l'idée que ta preuve est juste, relis-la au besoin et vois comment tu as exploité chaque hypothèse.

Je ne vais plus être disponible, je te souhaite une bonne soirée.

Merci beaucoup pour ta réponse, ça m'a convaincu et réassuré.
Je pense que je me suis un peu embrouillé l'esprit avec la notion de continuité uniforme que j'avais pas manipulé depuis assez longtemps. Et même en faisant la démo juste, comme je manque un peu (beaucoup ?) de confiance, je doute d'un peu tout, la formulation et l'utilisation des hypothèses et du coup, j'étais un peu perdu.

Merci encore ! Et je vais chercher quand même une suite, histoire de.