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Limites

Posté par
Samsco
12-09-20 à 16:33

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice :

f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} une fonction continue telle que \lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty et \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty.

L'équation f(x)=0 a-t-elle une solution ?

Réponses :

Je sais que pour que l'équation f(x)=0 admette une solution sur \mathbb{R} , il faut que :

_La fonction f soit continue ( c'est le cas ) et monotone ( strictement ? ) sur R.

_ f(R)=K où K est un intervalle contenant 0


Je penses que \lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty et \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty signifie que la fonction f(R)=R ( je n'en suis pas sûr).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 12-09-20 à 16:34

Bonjour,

Citation :
Je sais que pour que l'équation f(x)=0 admette une solution sur \mathbb{R} , il faut que :
Le "il faut que" est faux.

Posté par
Samsco
re : Limites 12-09-20 à 16:37

Qu'est ce qui est juste alors ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 12-09-20 à 16:38

Avec g(x) = x2, on a une fonction non monotone.
Pourtant, l'équation g(x) = 0 admet une solution sur .

Tu confonds condition nécessaire pour une propriété avec hypothèse qui figure dans un théorème et qu'il faut justifier pour pouvoir utiliser le théorème.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 12-09-20 à 16:40

Tu as peut-être des théorèmes dans ton cours sur l'image d'un intervalle par une fonction continue ?

Posté par
Samsco
re : Limites 12-09-20 à 16:40

Je penses que \lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty et \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty signifie que la fonction f(R)=R ( je n'en suis pas sûr).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 12-09-20 à 16:45

Il ne faut pas penser sans être sûr, mais regarder ce qu'il y a dans le cours.

Posté par
Samsco
re : Limites 12-09-20 à 16:53

Sylvieg @ 12-09-2020 à 16:40

Tu as peut-être des théorèmes dans ton cours sur l'image d'un intervalle par une fonction continue ?


Oui bien sûr.

Propriété :

Par une fonction continue :
_ l'image d'un intervalle est un intervalle ou un singleton .
_ l'image d'un intervalle fermé est un intervalle fermé ou un singleton.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 12-09-20 à 16:58

est-il un intervalle ?

Pas de précisions sur les bornes de l'intervalle image dans ton cours ?

Posté par
Samsco
re : Limites 12-09-20 à 17:02

Sylvieg @ 12-09-2020 à 16:45

Il ne faut pas penser sans être sûr, mais regarder ce qu'il y a dans le cours.


Ok .

a et B sont des nombres réels tels que a<b , f une fonction continue sur [a ; b] , (E) l'équation f(x)=0 .

_ Si f(a) et f(b) sont de signe contraire alors l'équation (E) admet au moins une solution dans [a ; b]

_ Si de plus f est strictement monotone sur [a ; b] alors l'équation (E) admet une unique solution dans [a ; b]

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 12-09-20 à 17:10

La dernière ligne ne peut pas servir car la fonction f peut ne pas être monotone.

Cherche à démontrer qu'il existe a et b avec f(a) et f(b) de signes contraires.

Posté par
Samsco
re : Limites 12-09-20 à 17:14

Ok mais qu'est ce que "\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty et \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty " signifie pour la fonction f ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 12-09-20 à 17:33

Regarde dans ton cours.

Posté par
Samsco
re : Limites 12-09-20 à 17:38

Sylvieg @ 12-09-2020 à 17:33

Regarde dans ton cours.


Je n'ai rien vu qui pourrait me renseigner à ce sujet dans mon cours .

Posté par
Samsco
re : Limites 14-09-20 à 00:20

Autre chose qui figure dans mon cours:

et sont des éléments de U{- ; +} tels que <.

_Si f est continue et strictement croissante sur ] ; [ alors

f(]\alpha~;~\beta[)=\left]\lim_{x \to \alpha \atop x>\alpha}f(x)~;~\lim_{x \to \beta \atop x<\beta}f(x)\right[

_ Si f est continue et strictement décroissante sur ] ; [ alors

f(]\alpha~;~\beta[)=\left]\lim_{x \to \beta \atop x<\beta}f(x)~;~\lim_{x \to \alpha \atop x>\alpha}f(x)\right[

Posté par
Zormuche
re : Limites 14-09-20 à 03:01

Bonsoir

les propriétés que tu as écrites ne peuvent pas être utilisées, la fonction f n'est ni croissante ni décroissante a priori

mais le fait que sa limite en +infini soit +infini force bien à ce que la fonction soit positive quelque part ... et vice-versa de l'autre côté
il faut le formaliser avec la définition de  \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

Posté par
Samsco
re : Limites 15-09-20 à 00:01

La définition que j'ai actuellement , c'est :

Dire qu'une fonction f tend vers +\infty lorsque x tend vers +\infty signifie que quel que soit le réel M que l'on se fixe , il existe un moment x0 à partir duquel f(x) ≥ M.

Mais je ne vois pas comment ça m'aide.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 15-09-20 à 07:22

Choisis M pour avoir un x vérifiant f(x) > 0.
Puis utilise l'autre limite pour avoir un autre x tel que f(x) < 0.

Une remarque sur l'énoncé "L'équation f(x)=0 a-t-elle une solution ?" :
Tu vas trouver que l'équation a au moins une solution.
Tu ne peut pas savoir combien.

Je ne vais pas être disponible ce jour, mais d'autres sont sur le pont

Posté par
Samsco
re : Limites 15-09-20 à 17:10

Je ne suis pas sûr de comprendre.

Si je choisis M=5 , comment je trouve x ?

Posté par
Zormuche
re : Limites 15-09-20 à 21:24

si on choisit M=5, alors la propriété nous dit qu'il existe forcément x_0 tel que pour tout x\ge x_0 on a f(x)\ge 5

On ne connaît pas précisément x_0 mais on sait qu'il existe, c'est tout ce qu'on veut

Posté par
Samsco
re : Limites 15-09-20 à 23:16

Ok

Sylvieg @ 15-09-2020 à 07:22


Puis utilise l'autre limite pour avoir un autre x tel que f(x) < 0.


Pour je dois encore choisir une valeur de M mais négative cette fois?

Posté par
Zormuche
re : Limites 15-09-20 à 23:32

M ou n'importe quelle autre lettre, ça na pas d'importance

La définition de la limite en -infini est :

\forall N\in\R,\quad \exists x_1\in\R,\quad \forall x\le x_1, \quad f(x)\le N

Posté par
Samsco
re : Limites 16-09-20 à 15:33

Zormuche @ 15-09-2020 à 23:32


\forall N\in\R,\quad {\red{\exists}} x_1\in\R,\quad \forall x\le x_1, \quad f(x)\le N


Ça veut dire quoi ( ce qui est en rouge) ?

Posté par
Zormuche
re : Limites 16-09-20 à 16:46

il existe x_1\in\R

Posté par
Samsco
re : Limites 16-09-20 à 22:21

Donc la fonction f est bornée.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 17-09-20 à 08:35

Une fonction de limite infinie bornée

Posté par
Samsco
re : Limites 17-09-20 à 09:03

Sylvieg @ 17-09-2020 à 08:35

Une fonction de limite infinie bornée


Je ne comprends ce que vous voulez que je fasse.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 17-09-20 à 09:25

D'après la définition, une fonction de limite + n'est pas majorée.
D'après la définition, une fonction de limite - n'est pas minorée.

On a utilisé la limite + pour démontrer l'existence de a tel que f(a) > 0.
Il reste à utiliser la limite - pour démontrer l'existence d'un b tel que f(b) < 0.

Posté par
Samsco
re : Limites 18-09-20 à 16:44

Ok

Pour M=5 , il existe un nombre réel x0 tel que x<x0 et f(x)<5.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 18-09-20 à 18:06

Je ne vois pas le rapport avec mon message du 17 à 9h25.
Ni avec ceux-ci :

Citation :
je dois encore choisir une valeur de M mais négative cette fois?
Zormuche @ 15-09-2020 à 23:32

M ou n'importe quelle autre lettre, ça na pas d'importance

La définition de la limite en -infini est :

\forall N\in\R,\quad \exists x_1\in\R,\quad \forall x\le x_1, \quad f(x)\le N

Posté par
Samsco
re : Limites 18-09-20 à 19:04

Il existe un nombre réel x0 tel que  x<x0 et f(x)=-5 .

f(x[bleu][/bleu]0)=5

Posté par
Samsco
re : Limites 18-09-20 à 19:05

f(x0)=5

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 19-09-20 à 09:20

Zormuche @ 15-09-2020 à 21:24

si on choisit M=5, alors la propriété nous dit qu'il existe forcément x_0 tel que pour tout x\ge x_0 on a f(x)\ge 5

On ne connaît pas précisément x_0 mais on sait qu'il existe, c'est tout ce qu'on veut
Quel est le signe de f(x0) ?
Si tu n'as pas compris cette partie, dis-le.

Sinon, tu fais la même chose avec x1 et N = -5 en utilisant la définition écrite par Zormuche de la limite - en -.

Posté par
Samsco
re : Limites 19-09-20 à 10:24

Samsco @ 18-09-2020 à 19:04

Il existe un nombre réel x0 tel que  x<x0 et f(x)<-5 .

f(x0)=-5


f(x0)<0

Posté par
Samsco
re : Limites 19-09-20 à 10:26

Il existe un nombre réel x0 tel que x≤x0 et f(x)≤-5

f(x0)=-5

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 19-09-20 à 11:12

Avec N = -5 :
Il existe un nombre réel x1 tel que si x x1 alors f(x) -5 .

f(x1) -5 car x1 x1.
Donc signe de f(x1) ?

Posté par
Samsco
re : Limites 19-09-20 à 14:24

f(x1) ≤ 0.

Mais si x ≤ x1 <=> f(x) ≤ f(x1) , ça signifie que la fonction f est croissante non ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 19-09-20 à 14:51

Où cette équivalence a-t-elle été écrite ou utilisée ?

Posté par
Samsco
re : Limites 19-09-20 à 15:07

Non , c'est une question juste comme ça .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 19-09-20 à 15:27

Bon, alors tu termines la démonstration de ce que tu as demandé au départ ?

Posté par
Samsco
re : Limites 19-09-20 à 15:37

En conclusion , on peut dire qu'il existe un réel x0 tel que pour tour x ≥ x0 , f(x0)≥0 et un réel x1 tel que pour tout x ≤ x1 , f(x1)<0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 19-09-20 à 15:55

Citation :
il existe un réel x0 tel que pour tour x ≥ x0 , f(x0)≥0
Le " pour tout x x0 " ne sert à rien, ni le " pour tout x x1 " ensuite.

Ce qui permet de conclure, c'est qu'il a été démontré qu'il existe un réel x0 tel que f(x0) > 0 et un réel x1 tel que f(x1) < 0.

Posté par
Samsco
re : Limites 19-09-20 à 23:55

Mais en quoi cela nous aide à résoudre l'exercice ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 20-09-20 à 08:14

Tu as écrit ceci le 12 à 17h02 :

Citation :
a et B sont des nombres réels tels que a < b , f une fonction continue sur [a ; b] , (E) l'équation f(x)=0 .

_ Si f(a) et f(b) sont de signe contraire alors l'équation (E) admet au moins une solution dans [a ; b]

Posté par
Samsco
re : Limites 20-09-20 à 14:00

Je n'ai pas compris cette partie ( en bleu) :

Sylvieg @ 19-09-2020 à 11:12

Avec N = -5 :
Il existe un nombre réel x1 tel que si x x1 alors  f(x) -5 .

f(x1) -5 car x1 x1.
Donc signe de f(x1) ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 20-09-20 à 14:59

On part de ceci : Si x x1 \; alors \; f(x) -5 .

Étant donné que \; x1 \; vérifie l'inégalité \; x x1
on a bien \; f(x1) -5 .

Posté par
Samsco
re : Limites 20-09-20 à 17:38

Prenons comme exemple la fonction carré:
x=-1 et x1=2
f(x)=1 ≤ 2 et f(x1)=4 ≥ 2

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 20-09-20 à 17:50

Posté par
Samsco
re : Limites 20-09-20 à 19:22


Sylvieg @ 19-09-2020 à 11:12


f(x1) -5 car x1 x1.


Ça, ce n'est valable que quand il en +infini de f(x)=+infini ( resp en -infini) ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limites 20-09-20 à 22:02

Bon, on arrête un peu le délire là !
Si tu veux un exemple, évite une fonction qui a comme limite + en -.

Je rappelle le départ :

Citation :
f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} une fonction continue telle que \lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty et \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty.
La fonction carrée ne convient pas vraiment.

Que penses-tu de f définie sur par f(x) = x3-3x+5 ?
Les limites en + et - sont + et -.
Et elle n'est pas monotone sur .

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