Quel est le signe des ?
S'il est strictement positif, passe au log et tu devrais reconnaitre une somme (au lieu d'un produit) à la tête familière

Ulmiere
Bonjour je crois que c'est quelconque le signe

Bonjour,

En l'absence de Ulmiere.
Il ne s'agit pas de croire, mais de  regarder quel est le domaine de variation de l'argument du sinus.

larrech
Bonjour,
En appliquant le logarithme on tombe sur la nécessité d'appliquer une formule de Riemann qui stipule que la fonction doit être continue sur [0,1] pour approximer la limite d'une somme à l'intégrale or la fonction que je trouve est continue sur ]0,1[(f(x)=ln(sinπx))
Je ne sais donc pas si je peux appliquer la formule

C'est vrai qu'il y a une difficulté.

En attendant l'avis de plus compétent que moi, ne peut-on se placer d'abord sur [1/n, (n-1)/n] puis passer à la limite ?

Non, il ne faut pas que les bornes soient fonction de n, donc plutôt [, 1-]

larrech
D'accord ça me paraît tentant

salut

   existe ... donc il en est de même de

car   et   pour la borne 1

Concernant les indices de la somme, le facteur 1/n qui la précède fait qu'on se fiche complètement de sommer jusqu'en n ou n-1, ou même jusqu'en n + o(n). Comme f est bornée, ça ne fait que rajouter des termes qui une fois divisés par n donneront un o(1).

Ensuite, le truc bien avec les sommes de Riemann, c'est que tu es libre de découper ton intervalle [0,1] de la façon que tu veux et de choisir le point d'évaluation que tu veux. Tout ce que ça va changer, ce sera l'efficacité de ton approximation numérique.

Il y a deux endroits sur l'intervalle qui posent problème au log et ce sont les bords. Tu peux te débarasser d'un des deux bords en remarquant que est symétrique par rapport à 1/2. Eu égard à ce que je viens de dire la limite si elle existe est la même que .
Pour le problème en 0, il suffit de prendre une subdivision mais de prendre le point d'évaluation sur l'intervalle .
Il y a évidemment un abus de notation avec mes n/2, il manque des parties entières.

carpediem
Bonjour ,
Merci !!

Ulmiere
Bonjour
Super merci !!

Bonjour Ulmiere !
Je ne suis pas d'accord avec ça :
Ensuite, le truc bien avec les sommes de Riemann, c'est que tu es libre de découper ton intervalle [0,1] de la façon que tu veux et de choisir le point d'évaluation que tu veux. Tout ce que ça va changer, ce sera l'efficacité de ton approximation numérique.
C'est vrai quand la fonction est bornée sur le segment car la fonction (prolongée comme on veut aux bornes) est Riemann-intégrable et tu peux "pointer" à ta guise les intervalles de subdivision.
Mais on est obligé de limiter la sommation aux intervalles non extrêmes. Par exemple, si sur on a une intégrale convergente et si on prend la subdivision de avec la valeur   la sommation (jusqu'à l'indice ) est bien définie mais le dernier terme vaut .

Je crois qu'une solution peut être obtenue en remarquant que la fonction est monotone (au moins au voisinage des bornes) et l'intégrale convergente. Dans ce cas, la sommation restreinte aux indices non extrêmes (ce qui est bien dans l'énoncé original) donne la bonne limite.