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Limites (avec équivalents)

Posté par Yaya13 (invité) 12-12-04 à 11:07

Coucou
j'ai des difficultéesà calculer ces deux limites
pourriez vous m'aider
merci

lim x^2[exp(1/x)-exp(1/(x+1))] en +infini
lim (tan x)^(tan(2x)) en pi/4

Posté par
franzre : Limites (avec équivalents) 12-12-04 à 12:11

Pour la première

En posant y=\frac 1 x
cela revient à chercher
\lim_{y \rightarrow 0} \; \frac 1 {y^2} \; \( e^y - e^{\frac y {1+y}}\)

Or \frac 1 {y^2} \; \( e^y - e^{\frac y {1+y}}\) = \frac {e^y} {y^2} \; \( 1 - e^{\frac y {1+y}-y}\) = \frac {e^y} {y^2} \; \( 1 - e^{-\frac {y^2} {1+y}}\) \relstack{\sim}{y\rightarrow 0}\frac 1 {y^2} \; \(\frac {y^2} {1+y}\) \relstack{\sim}{y\rightarrow 0}1

Posté par
franzre : Limites (avec équivalents) 12-12-04 à 12:34

Pour la seconde


\(\tan x\)^{\tan (2x)}=e^{\tan (2x) \ln(\tan x)}

En posant x=\frac \pi 4 + h

\tan (2x)=\frac {\sin(\frac \pi 2 + 2h)} {\cos(\frac \pi 2 + 2h)} = -\frac {\cos(2h)} {\sin(2h)} \relstack{\sim}{h\rightarrow 0} -\frac 1 {2h}

\ln(\tan x)= \ln\[\tan \( \frac \pi 4 + h\) \] \; = \; \ln \[ \frac {\tan \frac \pi 4 + \tan h} { 1-\tan \frac \pi 4 \tan h } \] = \ln \( \frac {1 + \tan h}{ 1 - \tan h } \) = \ln \( {1 + \tan h} \) - \ln\( {1 - \tan h} \) \relstack{\sim}{h\rightarrow 0} {2h}

donc
\tan (2x) \ln(\tan x) \relstack{\sim}{h\rightarrow 0}- \frac 1 {2h} (2h) \relstack{\sim}{h\rightarrow 0} -1


et
\lim_{x\rightarrow \frac \pi 4}\(\tan x\)^{\tan (2x)}=\frac 1 e

Posté par Yaya13 (invité)re : Limites (avec équivalents) 12-12-04 à 15:41

Merci bcp franz pour ton aide!
Mais j'ai juste une petite question à propos de la première limite.
tu utilises le fait que exp(x) soit équivalent à 1 en 0 c'est bien ca?
Encor merci
Bonne journée

Posté par Emma (invité)re : Limites (avec équivalents) 12-12-04 à 15:46

Il me semble en effet que c'est le cas :

\lim_{Y\to 0} [e^Y] = 1 appliqué deux fois :
--> à Y = y
--> à Y = \;-\;\frac{y^2}{1+y}
(qui tendent bien vers 0 lorsque y tend vers O)


Posté par Yaya13 (invité)re : Limites (avec équivalents) 12-12-04 à 15:52

Merci Emma

Posté par
franzre : Limites (avec équivalents) 12-12-04 à 18:20

Pour répondre au message d'Emma,

Je me sers bien de
\lim_{y\rightarrow 0 }e^y=1

En revanche, sur le 2° point je me sers de
\(e^z-1\)\relstack {\sim}{z\rightarrow 0 }z
Avec z =-\frac {y^2}{1+y} (qui tend bien vers 0 quand y tend vers 0),  cela donne
\(1-e^{ -\frac {y^2}{1+y}}\) \relstack {\sim}{y \rightarrow 0 }-\( -\frac {y^2}{1+y} \)\relstack {\sim}{y \rightarrow 0 }y^2


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