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Limites de fonctions

Posté par
margueritte 17-02-07 à 21:57

Bonsoir a tous j'ai un petit probleme sur un exercice et ce serait sympa si vous pouviez m'aider
voila je dois montrer qu'une fonction f: est constante sachant qu'elle est périodique et qu'elle admet une limite en +
MERCI de me venir en aide

Posté par
kaiser Moderateurre : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:07

Bonjour

Si a et b sont deux réels quelconques, alors il faut montrer que f(a)=f(b).
Notons T une période de f.
Essaie alors de construire deux suites qui tendent vers l'infini.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:07

Bonsoir,

elle est périodique de période T donc f(x+T)=f(x).

Suppose qu'elle est non constante.

Posté par
marguerittere : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:10

je voulais considerer les suites (f(x+nT)) mais je vois pas trop où cela peut me mener

Posté par
kaiser Moderateurre : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:12

Comme f tend vers une limite l en l'infini, alors tu sais que si tu prends une suite \Large{(x_{n})} qui tend vers l'infini, alors la suite \Large{(f(x_{n}))} tens aussi vers l.

Kaiser

Posté par
marguerittere : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:16

je suis désolée je ne suis pas sure de comprendre car même si mes deux suites ont la même limite en l'infini cela ne prouve pas que ma fonction est constante

Posté par
kaiser Moderateurre : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:21

avant de poursuivre : quelles sont les deux suites que tu considères ?

Kaiser

Posté par
marguerittere : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:24

les suites (Xn +nT) et f(Xn+ nT) sachant que je ne suis absolument pas sure de ce que je pose !!!
honnetement je ne vois vraiment pas comment je dois partir

Posté par
kaiser Moderateurre : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:26

En fait, les deux suites qu'il faut considérer sont a+nT et b+nT.

Kaiser

Posté par
marguerittere : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:29

et on a lim (a+nT)=lim (b+nT) en +?

Posté par
kaiser Moderateurre : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:32

oui ! ça vaut \Large{+\infty} à chaque fois.
et donc qu'en déduis-tu ?

Kaiser

Posté par
marguerittere : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:34

et bien que l'on a lim f(a+nT)=lim f(b+nT) en + non?

Posté par
jeansebre : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:35

Bonsoir

J'aurais proposé ceci:

$5\rm \forall \epsilon\

Posté par
jeansebre : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:35

Excusez, fausse manip!

Posté par
marguerittere : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:39

mais si on a ce résultat on a pas necessairement f(a)=f(b)?!?

Posté par
Cauchyre : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:41

Tes suites sont constantes.

Posté par
kaiser Moderateurre : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:41

Salut jeanseb

margueritte> bah si puisque, par périodicité, on a f(a+nT)=f(a) et f(b+nT)=f(b), et ce pour tout n.

Kaiser

Posté par
marguerittere : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:44

ah bah oui mais sincerement j'aurais jamais trouver toute seule !!! merci beaucoup

Posté par
kaiser Moderateurre : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:45

Pour ma part, je t'en prie !

Posté par
jeansebre : Limites de fonctions 17-02-07 à 22:51

Bonsoir

Puisque Kaiser en a fini, voilà ce que j'aurais proposé :

Si l est la limite de f:

3$\rm \forall \epsilon\> 0, \exists A \in\mathbb{R} tq \forall x \ge A , |f(x) - l| < \epsilon \rm \\ \\ donc \forall x \in [A; A+ T] , |f(x) - l| < \epsilon \\ \\ donc \forall x \in [0;T] , |f(x) - l| < \epsilon \\ \\ Conclusion: \forall \epsilon\ > 0, \forall x \in [0;T] , |f(x) - l| < \epsilon \\ \\ Donc \forall x \in [0;T] , |f(x) - l| = 0 \\ \\ Donc f est constante sur une periode, donc constante sur \mathbb{R}

Posté par
kaiser Moderateurre : Limites de fonctions 17-02-07 à 23:02

Pourrais-tu expliquer le passage de la deuxième ligne à la 3ème ligne ?

Kaiser

Posté par
jeansebre : Limites de fonctions 17-02-07 à 23:08

Si le Sup de f sur [A; A+T] est inférieur à , le sup sur n'importe quelle période l'est aussi puisque c'est le même. J'ai pris [0;T], mais n'importe quel intervalle de longueur T convient. Non?

Posté par
kaiser Moderateurre : Limites de fonctions 17-02-07 à 23:11

ah oui c'est vrai !
Au temps pour moi !

Kaiser

Posté par
jeansebre : Limites de fonctions 17-02-07 à 23:15

Ben ça fait plaisir! Pour une fois que tu me demande un éclaircissement!

Posté par
kaiser Moderateurre : Limites de fonctions 17-02-07 à 23:16


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