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Limites et continuité
Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je n'arrive pas trop à m'en sortir.
Il me demande de trouve toutes les fonctions continues telles que :
f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))
avec f(0) = 0 et f(1) = 1
Pour que ce soit plus facile, mon professeur pas conseiller de faire pour tout les x∈N, puis pour tout les x∈Z, x∈Q et enfin x∈R
Pour les x∈N, j'ai montré par une récurrence double que f(n)=n²
Par contre pour les autres ensembles, je ne vois pas trop comment faire.
Si vous avez un peu de temps à me consacrer ça serait sympa
(j'ai cherché un topic ressemblant à cette exercice mais je n'ai pas trouvé)
Merci.
Pour : Prenons
. L'on trouve
, soit
, pour tout
dans
. Rien n'interdit donc d'étendre ta fonction à
tout entier. C'est seulement l'idée.
A +
Pour tout x tu as : f(2x) = 4f(x) donc f(1/2) = 1/4 , f(1/4) = ..., f(1/8) = .., f(1/2n) = ...
..3/2 = 1 + 1/2 et 1 = 3/2 - 1/2 donc f(3/2) + f(1) = 2(f(1) + f(1/2)) d'où f(3/2) = ...
..Tu dois pouvoir mettre en place une récurrence pour calculer f(5/2) , f(7/2) ,...puis les f(-1/2) , f(-3/2) ,...donc les f(n + 1/2) (n [sub][/sub] 
)
Tu calcules f(3/4) , f(5/4) ..
Tu auras donc les f(p/2q) (p 
, q 
).
Il te restera à montrer que {p/2q | p , q } est dense dans 
et utiliser la continuité de f .
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