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Limites et continuité

Posté par
zartos
09-10-16 à 22:44

Bonsoir,

La dernière question de cet exercice me pose un sérieux problème:

Soit f la fonction définie sur par:

• f(x) =  1 + x + x²sin\frac{pi}{x}    si x<0

• f(x) = \sqrt{1 + x²} - 2x       si x 0

[...] • Montrer que f est continue en 0. (fait)
• Etudier la dérivabilité de f en 0. (f est dérivable en 0 et f'(0)= -2)
• Montrer que la restriction de f à ]-inf , 0[ est continue. (fait)
• Montrer que l'équation f(x) = x-1 admet une solution u tel que u ]-2 , -1[
Montrer que cos(\frac{pi}{u}) = \frac{ -\sqrt{u^4 - 4}}{u²}


Merci d'avance.

Posté par
luzak
re : Limites et continuité 09-10-16 à 23:09

Salut !
Juste pour les deux dernières questions : u étant négatif tu dois avoir 1+u+u^2\sin\frac{\pi}u=u-1.
Il faut vérifier (théorème des valeurs intermédiaires) que t\mapsto2+t^2\sin\frac{\pi}t change de signe entre -2,\;-1.
Tu auras alors \sin\frac{\pi}u=\dfrac{-2}{u^2} puis \cos^2\frac{\pi}u=1-\sin^2\frac{\pi}u=1-\dfrac4{u^4}. Il reste à justifier que \cos\frac{\pi}u est négatif.

Posté par
zartos
re : Limites et continuité 09-10-16 à 23:32

luzak @ 09-10-2016 à 23:09


u étant négatif tu dois avoir 1+u+u^2\sin\frac{\pi}u=u-1.
Pouvez-vous m'expliquer d'où vous avez tiré cette égalité?

Posté par
pyth
re : Limites et continuité 09-10-16 à 23:53

il faut résoudre f(x) = x-1

en posant u la solution énoncée dans l'énoncé, on a f(u) = u-1

et f(u) = 1+u+u²sin(pi/u) puisque u<0 (c'est la définition de la fonction f)

Le reste est bien indiqué dans la réponse de mon prédécesseur

Posté par
zartos
re : Limites et continuité 10-10-16 à 00:43

Ah finalement j'ai compris, c'est la première fois que j'ai face à une question de ce genre. Merci à vous!



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