Lorsque, dans le calcul d'une limite, on tombe sur un cas d'indétermination (0/0 ; oo/oo ; 0 * oo ; oo - oo), il existe différentes techniques pour lever (si c'est possible) l'indétermination.

Règle de Lhospital, DL, manipulation de l'expression ...

Suivant les cas, l'une ou l'autre technique peut être utilisée, parfois plusieurs.

Les DL ne servent pas seulement dans le calcul des limites.
-----
Exemple très simple pour une limite.

lim(x-> 0) [sin(x)/x]

DL de sin(x) = x - x³/6

lim(x-> 0) [sin(x)/x] = lim(x-> 0) [(x - x³/6)/x] = lim(x-> 0) [1 - (x²/6)] = 1

Ici, on aurait pu aussi utiliser la Règle de Lhospital ou autre chose, mais en fonction des cas, toutes les techniques peuvent être utiles ou mieux appropriées que les autres.

La différentiation te permet de trouver une approximation linéaire de ta fonction. La seconde te permet de trouver une approximation quadratique de ta fonction, et ainsi de suite, tu peux, arriver avec certaine fonction à avoir une approximation polynômiale de degré n de tes fonctions. C'est l'idée des DL.
Pour ce qui est des DL généralisés, je ne sais pas de quoi tu parles. Si tu parles des développements asymptotiques, c'est la même chose en fait.
a+

bonjour, merci pour votre aide otto mais d'apres mes documents il y a une difference entre DL généralisés et le developpement asymptotique mais comme il n y a pas d'exemple alors je n'arrive pas a comprendre facilement voici mon document, merci encore...

Salut,
effectivement, je vois ce que tu entends par dl généralisé. Je n'ai jamais vu ca, mais ca correspond en fait à un développement en série de laurent que l'on tronque à un certain ordre.
En fait, il faut voir ici que l'on va chercher toutes les puissances impaires du développement (contrairement au développement autour d'un point régulier, au voisinage des points singuliers, ce sont les puissances les plus grandes qui influent le plus)

Ces développements généralisés permettent donc, comme je le dis, d'avoir un développement polynômiale en 1/x au voisinage de ta singularité 0. (en 1/(x-a) au voisinage de la singularité a) en plus du développement polynômiale.

Par exemple, ca permet de connaitre le développement d'une fonction au voisinage du pôle d'une fonction, ca permet de savoir à quel point la singularité est "méchante".
Par exemple, les fonctions dont le développement est composé de puissances négatives de x en quantité infini sont des fonctions qui ont une singularité très "méchante" et complétement "incontrolable". Au vue de ta définition, on ne les considère d'ailleurs pas dans la définition de dl généralisé. Un tel exemple serait donné par exp(1/z).
Pour voir à quel point ces singularités sont "méchantes", on a le théorème de Casorati-Weierstrass.

En espèrant avoir éclairci la chose.
a+

Bonjour!
Une observation; (sinx)'=
L'utilisation de la regle de L'Hospital pour  a calculer est incorrectement parce que pour a demontrer que (sin)'(x)=cosx a ete necesaire justement,bien que le resultat est correct.

salut costica48,
merci pour l'information mais tu as une question ou tu veux me repondre

merci beaucoup otto pour votre aide apparamment c'est tres complique, en fait j'ai quelque fonctions j'ai pas pu trouver leurs dl au voisinage de 0 a l'ordre 4 et j'aimerai avoir comment faire ;
merci,

Salut trafik! "Qu'est-ce qu'une derivee veritablement?
Reponse:une limite." Cauchy "Cours d'Analyse",1821.
A bientot!

costica48,

Tout dépend des définitions utilisées pour définir le cosinus et le sinus (Il y en a de multiples) et de la manière qui a été utilisée pour déterminer certaines dérivées ou de ce qui peut être considéré comme acquis au moment de débuter un exercice.

Comme il a été démontré (depuis la nuit des temps) que la dérivée de f(x) = sin(x) était f'(x) = cos(x), il est tout à fait licite de se servir de ce résultat pour lever l'indétermination de lim(x-> 0) [sin(x)/x] en appliquant la règle de Lhospital.

Par contre si on demande dans un même exercice (ou dans des exercices consécutifs) de montrer que la dérivée de f(x) = sin(x) est f'(x) = cos(x) et d'ensuite de calculer la lim(x-> 0) [sin(x)/x], il n'est pas question de se servir du fait que lim(x-> 0) [sin(x)/x] = 1 pour démontrer que la dérivée de f(x) = sin(x) est f'(x) = cos(x) et puis de se servir de ce résultat pour lever l'indétermination dans le calcul de la limite.

Enfin à ce qu'il me semble.

desole costica48 mais je ne vois pas de quoi tu parles  

trafik,

costica48 a dit qu'on ne pouvait pas utiliser une propriété A pour déterminer une propriété B et ensuite utiliser la propriété B pour montrer que la propriété A est exacte.

Ce en quoi, il(elle) a raison.

Par contre, dire que c'est forcément le cas dans l'application de la règle de Lhospital pour lever l'indétermination dont on parlait, il y a de la marge.

Pour que l'application de la règle de Lhospital soit proscrite dans l'exemple, il faudrait montrer que la seule manière de trouver la dérivée de f(x) = sin(x) utilise obligatoirement le fait que lim(x-> 0) [sin(x)/x] = 1, c'est certes une manière d'y arriver mais est-ce bien le seul ?