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Limites et série

Posté par Liloue (invité) 22-02-06 à 18:29

Bonsoir amis matheux
Voilà une petite question plutot inhabituelle je trouve sur les limites :

Sachant :\lim_{x\to 1}(\sqrt{1-x} \sum_{i=0}^{+\infty} a_i x^i)=\sqrt{\pi}

déterminez pour tout entier naturel p
\lim_{x\to 1}(\sqrt{1-x} \sum_{i=0}^{+\infty} a_i x^{(p+1)i})

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Limites et série 22-02-06 à 19:07

Bonjour Liloue;
Avec le changement de variable \fbox{X=x^{p+1}} on voit bien que \fbox{X\to1\Longleftrightarrow x\to1} et donc que \fbox{\sqrt\pi=\lim_{X\to1}\sqrt{1-X}\Bigsum_{i=0}^{+\infty}a_iX^i=\lim_{x\to1}\sqrt{1-x^{p+1}}\Bigsum_{i=0}^{+\infty}a_ix^{(p+1)i}} et comme sqrt{1-x^{p+1}} est équivalent en 1^- à \sqrt{p+1}\sqrt{1-x}
on conclut que \blue\fbox{\lim_{x\to1}\sqrt{1-x}\Bigsum_{i=0}^{+\infty}a_ix^{(p+1)i}=sqrt{\frac{\pi}{p+1}}}.
Remarque:
Je crois qu'on aboutit au même résultat en remplaçant l'entier naturel \fbox{p} par un réel \fbox{\alpha>-1}.
Sauf erreurs bien entendu


Posté par Liloue (invité)re : Limites et série 23-02-06 à 08:28

en effet ca tourne rond !
moi j'avais voulu passer par les racines (p+1)eme...ca coincé un peu !
merci a toi !

Posté par Liloue (invité)re : Limites et série 23-02-06 à 09:58

ah par contre comment démontrer rigouresement l'équivalence en 1 ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Limites et série 23-02-06 à 11:04

Bonjour;
Pour p\in\mathbb{N} et x\in\mathbb{R} on a 1-x^{p+1}=(1-x)(1+x+..+x^p) et donc pour x\neq1 on a \frac{1-x^{p+1}}{1-x}=1+x+..+x^p et tu vois bien que \lim_{x\to1^-}sqrt{\frac{1-x^{p+1}}{1-x}}=\lim_{x\to1^-}sqrt{1+x+..+x^p}=sqrt{p+1}

Posté par Liloue (invité)re : Limites et série 23-02-06 à 13:52

d'accord, merci !
je me permet de te demander conseil pour la suite de mon exo...

Sachant,
\lim_{x\to 1}(\sqrt{1-x}\sum_{k=0}^{+\infty}a_k x^{(p+1)k})= \int_0^{+\infty} \frac{e^{-(p+1)t}}{\sqrt{t}}dt

montrez que pour toute application polynomiale réelle Q on a :
\lim_{x\to 1}(\sqrt{1-x}\sum_{k=0}^{+\infty}a_k x^k Q(x^k))=\int_0^{+\infty} \frac{e^{-(p+1)t}}{\sqrt{t}} Q(e^{-t})dt
------------------------
Crois tu que je peux le faire avec un raisonnement par récurrence sur le degrès de Q (mais ca pose un problème avec les coefficients de Q..) ?
Vois tu une autre méthode ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Limites et série 23-02-06 à 18:01

Bonjour;
(*)Je crois que la formule demandée est plutôt \blue\fbox{\lim_{x\to1^-}sqrt{1-x}\Bigsum_{k=0}^{+\infty}a_kx^kQ(x^k)=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-t}Q(e^{-t})}{sqrt{t}}dt}
Ce n'est pas la peine de faire une récurrence:la formule demandée étant linéaire par rapport à Q,il suffit de la vérifier pour les monômes de la forme \fbox{Q{:}x\to x^p\\p\in\mathbb{N}} ce qui est acquis vu que \fbox{\lim_{x\to1^-}sqrt{1-x}\Bigsum_{k=0}^{+\infty}a_kx^k(x^k)^p=\lim_{x\to1^-}sqrt{1-x}\Bigsum_{k=0}^{+\infty}a_kx^{(p+1)k}=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-(p+1)t}}{sqrt{t}}dt=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-t}(e^{-t})^p}{sqrt{t}}dt}.
Sauf erreurs bien entendu

Posté par Liloue (invité)re : Limites et série 23-02-06 à 18:38

en effet ta rectification est juste, mais il y a pas un problème si les monomes ont des coefficients ?


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