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Limites inverse fonction
Bonsoir à tous,
Je cherche à démontrer que dans un espace vectoriel normé, si une suite de E converge vers l non nul alors
converge vers
Je trouve des démonstrations dans 
mais cela utilise que le quotient de normes est la norme du quotient et le produit de normes est la norme du produit, ce qui n'est pas forcément le cas pour une norme quelconque...
Donc je peux commencer par mais après je ne sais pas quoi faire...
Merci d'avance
En fait, je viens de comprendre le problème, on ne parle de que si la suite est à valeurs réelles ou complexes !
N'est ce pas ?
que si la suite est à valeurs réelles ou complexes !
Pas forcément, ça peut être n'importe quel ensemble d'éléments inversibles pour une loi de composition internet notée multiplicativement. Typiquement, ce sera un corps ou un groupe.
La mention "l non nul" sous-entend "donc inversible, dans un corps" mais les sous-entendus ne valent rien 
Désolé, double post
Pour la preuve : continuité en L de la fonction inverse, ou plus manuellement, montrer que si u et uv convergent vers des limites a et b avec a non nul et si v est bornée, alors v converge vers b/a. Appliquer à v = 1/u.
Preuve manuelle:
On peut appliquer à pour p assez grand et v son inverse parce que u converge vers une limite non nulle, donc est bornée d'inverse borné à partir d'un certain rang. a = l et b = 1 bien-sûr
Merci beaucoup pour vos réponses.
Mais si ce n'est pas à valeurs réelles ou complexes, dans la preuve on utilise que le quotient des normes est la norme du "quotient" (ou que la norme du produit est le produit des normes), est-ce toujours le cas ?
Si la fonction est à valeurs dans un corps muni d'une valeur absolue, ça fonctionnera encore, mais c'est absolument faux de dire que la norme du produit est le produit des normes dans un espace vectoriel en général.
D'abord, c'est quoi le produit de deux éléments d'un ev ? Ca veut dire que tu as une structure d'algèbre, avec un produit interne, ce qui n'est pas toujours vrai 
Par exemple, sur l'anneau des matrices si (An) converge vers A et (Bn) converge vers B.
Comment montrer que AnBn converge vers AB ?
Parce que dans les réels ou complexes, on utilise qui converge vers 0 (car suite convergente est bornée)
Mais on a utilisé que le produit des valeurs absolues est égal à la valeur absolue du produit
On ne peut pas faire cela avec la norme matricielle....
On ne peut pas faire cela avec la norme matricielle....
n'a-t-on pas ||AB||
||A|| ||B|| ? (norme sous-multiplicative)
cela ne suffit-il pas pour appliquer le même raisonnement ?
Si, mais seulement pour le produit.
Pour le quotient, tu ne peux plus conclure que , en utilisant
, parce que l'inégalité est dans l'autre sens
Ulmiere : la question était rhétorique et s'adressait à bouri
je suis d'accord avec la deuxième phrase sur le quotient (je ne parlais que du produit) et on n'a seulement que mais on ne peut rien dire de plus
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