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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Limites inverse fonction

Posté par
bouri
24-01-24 à 17:49

Bonsoir à tous,

Je cherche à démontrer que dans un espace vectoriel normé, si (u_n) une suite de E converge vers l non nul  alors \dfrac{1}{u_n} converge vers \dfrac{1}{l}
Je trouve des démonstrations dans mais cela utilise que le quotient de normes est la norme du quotient et le produit de normes est la norme du produit, ce qui n'est pas forcément le cas pour une norme quelconque...
Donc je peux commencer par \Vert \dfrac{1}{u_n} - \dfrac{1}{l}= \Vert \dfrac{u_n-l}{u_nl} \Vert  mais après je ne sais pas quoi faire...
Merci d'avance

Posté par
bouri
re : Limites inverse fonction 24-01-24 à 18:13

En fait, je viens de comprendre le problème, on ne parle de  \dfrac{1}{u_n} que si la suite est à valeurs réelles ou complexes !
N'est ce pas ?

Posté par
carpediem
re : Limites inverse fonction 24-01-24 à 19:19

salut

ben oui !! c'est quoi l'inverse d'un vecteur ?

Posté par
Ulmiere
re : Limites inverse fonction 24-01-24 à 19:29

que si la suite est à valeurs réelles ou complexes !

Pas forcément, ça peut être n'importe quel ensemble d'éléments inversibles pour une loi de composition internet notée multiplicativement. Typiquement, ce sera un corps ou un groupe.
La mention "l non nul" sous-entend "donc inversible, dans un corps" mais les sous-entendus ne valent rien

Posté par
Ulmiere
re : Limites inverse fonction 24-01-24 à 19:45

Désolé, double post

Pour la preuve : continuité en L de la fonction inverse, ou plus manuellement, montrer que si u et uv convergent vers des limites a et b avec a non nul et si v est bornée, alors v converge vers b/a. Appliquer à v = 1/u.

Preuve manuelle:
|v_n - b/a| = \dfrac{|av_n - b|}{|a|} \leqslant \dfrac{|av_n - u_nv_n| + |u_nv_n - b|}{|a|} \leqslant \dfrac{M|a - u_n| + |u_nv_n - b|}{|a|} \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0

On peut appliquer à (u_{n+p})_n pour p assez grand et v son inverse parce que u converge vers une limite non nulle, donc est bornée d'inverse borné à partir d'un certain rang. a = l et b = 1 bien-sûr

Posté par
bouri
re : Limites inverse fonction 06-02-24 à 18:31

Merci beaucoup pour vos réponses.
Mais si ce n'est pas à valeurs réelles ou complexes, dans la preuve on utilise que le quotient des normes est la norme du "quotient" (ou que la norme du produit est le produit des normes), est-ce toujours le cas ?

Posté par
Ulmiere
re : Limites inverse fonction 06-02-24 à 20:40

Si la fonction est à valeurs dans un corps muni d'une valeur absolue, ça fonctionnera encore, mais c'est absolument faux de dire que la norme du produit est le produit des normes dans un espace vectoriel en général.

D'abord, c'est quoi le produit de deux éléments d'un ev ? Ca veut dire que tu as une structure d'algèbre, avec un produit interne, ce qui n'est pas toujours vrai

Posté par
bouri
re : Limites inverse fonction 07-02-24 à 10:02

Par exemple, sur l'anneau des matrices si (An) converge vers A et (Bn) converge vers B.
Comment montrer que AnBn converge vers AB ?

Parce que dans les réels ou complexes, on utilise \vert a_n b_n -ab \vert = \vert (a_n-a)b_n+a(b_n-b) \vert \leq\vert a_n-a\vert . \vert b_n\vert+\vert a \vert. \vert b_n-b \vert \vert   qui converge vers 0 (car suite convergente est bornée)
Mais on a utilisé que le produit des valeurs absolues est égal à la valeur absolue du produit
On ne peut pas faire cela avec la norme matricielle....

Posté par
carpediem
re : Limites inverse fonction 07-02-24 à 12:31

bouri @ 07-02-2024 à 10:02

On ne peut pas faire cela avec la norme matricielle....

n'a-t-on pas ||AB|| ||A|| ||B|| ? (norme sous-multiplicative)

cela ne suffit-il pas pour appliquer le même raisonnement ?

Posté par
Ulmiere
re : Limites inverse fonction 07-02-24 à 13:38

Si, mais seulement pour le produit.
Pour le quotient, tu ne peux plus conclure que |AB^{-1}| \leqslant |A||B|^{-1}, en utilisant |B^{-1}| \leqslant |B|^{-1}, parce que l'inégalité est dans l'autre sens

Posté par
carpediem
re : Limites inverse fonction 07-02-24 à 16:17

Ulmiere : la question était rhétorique et s'adressait à bouri  

je suis d'accord avec la deuxième phrase sur le quotient (je ne parlais que du produit) et on n'a seulement que ||AB^{-1} || \le ||A|| ||B^{-1} || mais on ne peut rien dire de plus

Posté par
bouri
re : Limites inverse fonction 11-02-24 à 17:23

Merci à vous

Posté par
carpediem
re : Limites inverse fonction 11-02-24 à 19:47

de rien



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