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Limites, négligeabilite et équivalence

Posté par
zerottrond 24-11-07 à 17:34

Salut à tous j'ai un peu de mal à terminer mes maths pouvez vous m'aider svp?

1) Montrer que ln(lnx)=o(lnx) au voisinage de +.
2) Comparer les fonctions (xx)x et xx^x au voisinage de +.
3) Determiner les limites des expressions suivantes à l'aide d'équivalents:
  a) sinxln(tanx) en 0
  b) (x+lnx)((1+x²) -1) en +
  c) (cosx)cotx² en 0

Merci

Posté par
Nightmarere : Limites, négligeabilite et équivalence 24-11-07 à 17:39

Bonsoir,

rien de bien compliqué.

1) En posant X=ln(x)
3$\rm \frac{ln(ln(x))}{ln(x)}=\frac{ln(X)}{X} qui tend vers 0 en +oo donc on a bien ln(ln(x))=o(ln(x))

Posté par
Nightmarere : Limites, négligeabilite et équivalence 24-11-07 à 17:48

2)Je pense que c'est 3$\rm x^{x^{2}} et 3$\rm x^{x^{x}} c'est ça?

Bon ben il faut y aller à coup d'exponentielles :
3$\rm \frac{x^{x^{2}}}{x^{x^{x}}}=e^{x^{2}ln(x)-x^{x}ln(x)}
Mais :
3$\rm x^{x}=e^{xln(x)}
On a donc en exposant 3$\rm x^{2}ln(x)-e^{xln(x)}ln(x)=ln(x)(x^{2}-e^{xln(x)})
Or :
3$\rm x^{2}-e^{xln(x)}=x^{2}(1-\frac{e^{xln(x)}}{x^{2}}\) \\ Et : \\ [tex]3$\rm \frac{e^{xln(x)}}{x^{2}}=\frac{e^{xln(x)}}{e^{2ln(x)}}=e^{(x-2)ln(x)}\longrightarrow_{x\to +\infty} +\infty
Au final :
3$\rm x^{2}-e^{xln(x)}\longrightarrow_{x\to +\infty} -\infty
D'ou 3$\rm ln(x)(x^{2}-e^{xln(x)})\longrightarrow_{x\to +\infty} -\infty
et au final :
3$\rm \frac{x^{x^{2}}}{x^{x^{x}}}\longrightarrow_{x\to +\infty} 0 donc 3$\rm x^{x^{x}}=o\(x^{x^{2}}\)

Posté par
zerottrondre : Limites, négligeabilite et équivalence 24-11-07 à 18:28

merci beaucoup !!!


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