Niveau Maths sup

limites suites

Posté par basso (invité) 03-08-05 à 13:14

bonjour tout le monde !

j'ai un petit exo sur les limites, et j'ai un doute sur la façon dont je l'ai résolu ... donc si qqn pouvait me corriger ce serait suuuuper gentil

voici l'exo :
soit $(X_n)$ une suite réelle, on suppose que les suites $(X_{2n})$ , $(X_{2n+1})$ et $(X_{3n})$ convergent. Démontrer que la suite $(X_n)$ converge.

Alors voilà j'ai trouvé comment faire mais le hic, c'est que je n'utilise que les deux suites $(X_{2n})$ et $(X_{2n+1})$ ...

$(X_{2n})$ converge vers l, donc $\forall \epsilon > 0$ $\exists n_0$ , $n\ge{n_0}$ $|x_{2n}-l|\le\epsilon$

de même pour $(X_{2n+1})$ qui converge vers l' donc de la même façon
$\forall \epsilon > 0$ , $\exists n_1$ , $n\ge{n_1}$
$|x_{2n+1}-l'|\le\epsilon$ .

Donc il existe $n_2 \ge max(2n_0,2n_1+1)$ tel que quelque soit $\epsilon$ , $n\ge n_2$ implique qu'on ait à la fois :
$|x_{2n}-l|\le\epsilon$ et
$|x_{2n+1}-l'|\le\epsilon$

par addition : $|x_{2n}-l| + |x_{2n+1}-l'|\le 2\epsilon$

on applique l'inégalité triangulaire :
$|2x_n-l-l'| \le |x_n-l|+|x_n-l'| \le 2\epsilon$ pour $n\ge n_2$

on en conclut que $(X_n)$ converge vers $\frac{l+l'}{2}$

est-ce suffisant ? merci de m'aider

basso

PS : qu'est-ce que ça a été long à écrire en latex ! :p

Posté par re : limites suites 03-08-05 à 13:22

Bonjour,
jusqu'à "on applique l'inégalité triangulaire" c'est bon. Mais à la ligne suivante il manquerait un "+1" dans l'indice pour que ça soit juste, et ça change tout...
Réfléchis à cette suite:
un = 0 si n pair, 1 si n impair
u2n et u2n+1 convergent (vers 0 et 1) mais pas un ni u3n!
Donc l'hypothèse u3n converge est importante.

Tu peux te servir des suite u6n et u6n+3, qui sont des sous suite de u2n et u3n pour la première, et u3n et u2n+1 pour la seconde...

ps: en latex, les \varepsilon $\varepsilon$ sont plus jolis que les \epsilon $\epsilon$

Posté par basso (invité)re : limites suites 03-08-05 à 13:43

oualala j'avias écrit toute une réponse et (ne me demandez pas pourquoi !) j'ai fermé la fenêtre

enfin bon je reprends puisqu'il le faut !

en utilisant la suite d'indice 6n elle même extraite de la suite d'indice 2n, et de la suite d'indice 3n, on parvient au fait que les deux suites d'indice 2n et 3n convergent vers la même limite.

de même en utilisant l'indice 6n+3, on parvient au fait que les suites d'indices 2n+1 et 3n convergent vers la même limite.

En conclusion les trois suites extraites de départ ont la même limite l, et notamment les deux suites d'indice 2n+1 et 2n.

Après comment conclure ? en n'utilisant le fait que tout entier naturel n est de la forme 2n ou 2n+1 et donc que la suite de départ d'indice n converge vers l ?
et là je pourrais éventuellement reprendre le raisonnement, sans erreur cette fois , de mon premier post.

Merci beaucoup en tout cas ...

Posté par re : limites suites 03-08-05 à 13:50

Oui tu peux refaire ton raisonnement de tout à l'heure, ie pour $n>n_0$ suffisamment grand, $u_{2n}$ et $u_{2n+1}$ sont proches de l, donc pour $n>2n_0$ , $u_n$ est proche de l...
Bientôt tu peut-être auras le droit de conclure tout de suite

Posté par re : limites suites 04-08-05 à 00:16

Salut,
naïvement l'idée est que (Un) possède deux valeurs d'adhérence au plus:
En effet (U2n+1) converge vers L1 et (U2n) converge vers L2.
Le fait que (U3n) converge va en fait nous dire que L1=L2. (puisqu'elle converge vers L3, et que (U6n) est suite extraite de (U3n) et de (U2n) on a que L2=L3, et on fait de même pour montrer que L1=L3)
On a donc que (Un) possède une unique valeur d'adhérence, et puisque (U2n) et (U2n+1) sont bornées, (Un) est également bornée (majoré par le max des deux majorants, et minoré par le min des deux minorants) alors (Un) converge.
Sauf erreur.
Voilà une idée simple à mettre un peu plus en forme, mais c'est déjà pas mal rédigé.
Sauf erreur ca doit être pas mal.
A+

Posté par re : limites suites 04-08-05 à 08:32

salut otto,

dans ton dernier post, j ai cru lire que si Un est bornee alors elle converge, ne n'est pas vrai contre exemple un=(-1)^n

Posté par re : limites suites 04-08-05 à 09:00

Bonjour,
non j'ai dit que si (Un) était bornée et qu'elle possédait une unique valeur d'adhérence, alors elle était convergente.
Dans ton exemple, il y'a deux VA
Bonne journée,
A+

Posté par re : limites suites 04-08-05 à 09:10

la je suis d'accord, desole pas rop reveille le matin....
bonne journee aussi

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