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Niveau terminale
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linéarisation

Posté par flodu76 (invité) 29-01-07 à 12:31

salut tout le monde me revoila ^^ juste 3 application a faire :s on débute sur la linéarisation et la prof nous a donné 3 ptit exo a faire a savoir:

linéariser: f(x)=cos4x
            f(x)=cos2x sin2x
            f(x)=sin6x

Si vous pouviez m'expliquer..... sa serait simpatoche ^^ merci de votre aide bizou

Posté par
raymond Correcteur
linéarisation 29-01-07 à 12:36

Bonjour.

Votre professeur a du vous donner une méthode fondée sur les formules d'Euler.
Essaie de l'appliquer.

A plus RR.

Posté par flodu76 (invité)re : linéarisation 29-01-07 à 12:48

ba oui mais ce n'est pas pour autant que j'ai compris ^^

Posté par
raymond Correcteur
re : linéarisation 29-01-07 à 13:02

3$\textrm cos^4(x) = (\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2})^4

Formule du binôme de Newton :

3$\textrm = \frac{1}{16}(e^{4ix} + 4e^{3ix}.e^{-ix} + 6e^{2ix}.e^{-2ix} + 4e^{ix}.e^{-3ix} + e^{-4ix})

Tu regroupes pour faire apparaître des cosinus :

3$\textrm = \frac{1}{16}(e^{4ix} + e^{-4ix} + 4(e^{2ix} + e^{-2ix}) + 6)

Formule d'Euler à l'envers :

3$\textrm cos^4(x) = \frac{1}{16}(2cos(4x) + 8cos(2x) + 6) = \frac{1}{8}(cos(4x) + 4cos(2x) + 3)

Sauf erreur de frappe. A plus RR.

Posté par flodu76 (invité)re : linéarisation 29-01-07 à 13:12

eh bien merci beaucoup ^^ jvé regardé cela pour essayé de comprendre :p et pour la 2eme jarrive a (1-cos4x)/4 en utilisant la formule de liéarisation mais ensuite je ne sais pas comment me débrouiller :s

Posté par
raymond Correcteur
re : linéarisation 29-01-07 à 13:22

Pour la seconde, les formules d'Euler me semblent un peu lourdes. Il y a plein d'autres procédés plus simples.

Exemple.

cos²x.sin²x = cos²x(1 - cos²x) = cos²x - cos4x.

Tu sais que : 3$\textrm cos^2x = \frac{1 + cos(2x)}{2}
Pour cos4x, tu reprends la réponse de la question 1°).

Tu auras : 3$\textrm cos^2x.sin^2x = \frac{1 - cos(4x)}{8}

A plus RR.

Posté par flodu76 (invité)re : linéarisation 29-01-07 à 13:32

et le polynome est linéarisé quand l'on obtient le résultat que vous venez de faire ? Car concrétement , qu'est ce que linéariser?

Posté par
raymond Correcteur
re : linéarisation 29-01-07 à 13:39

Linéariser consiste à exprimer des puissances de sinus ou de cosinus en fonction des sin(kx) et cos(kx).

L'une des utilisations les plus classiques est la recherche des primitives.

On ne sait pas trouver directement de primitive de cos4x, par contre, une primitive de cos(4x) est : \frac{1}{4}sin(4x).

A plus RR.

Posté par flodu76 (invité)re : linéarisation 29-01-07 à 13:50

et pour la dernière question tu pourrai me donner juste le résultat? j'éssaierai  de le retrouver par moi meme merci beaucoup a+ raymond !!

Posté par
raymond Correcteur
re : linéarisation 29-01-07 à 14:05

Pour la dernière question je réutilise les formules d'Euler (attention ici le dénominateur du sinus : 2i).
Je trouve :

3$\textrm sin^6x = -\frac{1}{32}[cos(6x) - 6cos(4x) + 15cos(2x) - 10].

Peut-être existe-t-il une méthode plus rapide utilisant les deux premières réponses ?

A plus RR.



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