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Niveau Maths sup
Linéarisation de cos^n
Posté par Arianal
Bonjour! J'aimerais linéariser cos^n (t).
En applicant la formule d'Euler on trouve
cos^n (t) = Somme( de 0 à n de (k parmis n)*ei(2k-n)t ) / 2n
Je vois souvent qu'il faut distinguer n pair et n impair (sur les forums entre autres).
Je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas tout simplement dire que
Re(cos^n (t)) = cos^n (t) = Somme( de 0 à n de (k parmis n)*cos(2k-n)t ) / 2n
car la partie réelle d'une somme est la somme des parties réelles non?
D'avance merci!! mon cerveau bloque bloque bloque
bonjour
à quelle démonstration fais-tu référence ?
j'ai peur que tu ne confondes avec cos(nt)
de quelle formule d'Euler parles-tu ?
On écrit cos^n(t) sous la forme ((eit + e-it)/2)^n
puis on développe avec le binome de newton pour obtenir
cos^n (t) = (Somme( de 0 à n de (k parmis n)*ei(n-2k)t ) / 2^n
donc ton cosn(t) c'est la partie imaginaire de cette somme...
mais je ne vois pas ce que viendrait faire ici une distinction sur la parité de n ...
matheuxmatou @ 20-05-2020 à 17:51
donc ton cosn(t) c'est la partie imaginaire réelle de cette somme...
mais je ne vois pas ce que viendrait faire ici une distinction sur la parité de n ...
donc ton cosn(t) c'est la partie imaginaire réelle de cette somme...
mais je ne vois pas ce que viendrait faire ici une distinction sur la parité de n ...
n'importe quoi !
Je suis bien d'accord avec vous, pourtant c'est ce qui est fait souvent (je l'ai vu sur plusieurs sites et cours).
Donc je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas prendre la partie réelle de cos^n(t) et dire que les termes des ei(n-2k)t qui restent sont les cos(n-2k)t tout simplement.
je pense que tu parles de site où on cherche à exprimer cos(nt) comme polynôme de cos(t) et sin(t) avec la formule de Moivre... là oui il est question de parité
Je comprends la méthode que je viens de vous mettre en lien, ce que je ne comprends pas c'est pourquoi n'avoir pas passé à la partie réelle ce qui me semble largement plus simple (mais doit être faux? car ne semble pas aboutir au même resultat)
ah oui ok je viens de voir...
c'est juste pour arranger la somme ensuite en regroupant des termes égaux... par exemple,
pour n=2 on obtient cos²(t) = (1/4) (cos(2t) + 2 cos(0t) + cos(-2t)) = ... =(1 + cos(2t))/2
pour n=3 on obtient cos3(t) = (1/8) ( cos(3t) + 3 cos(t) + 3 cos(-t) + cos(-3t)) = (cos(3t) + 3 cos(t))/4
ce qui se regroupe différemment
c'est tout
la formule que tu donnes est juste, c'est simplement la mise sous forme réduite de la somme qui va demander une distinction sur la parité (on scinde la somme à n/2 ou à (n-1)/2)
la formule "brute" en prenant la partie réelle de la somme est :
mais elle peut se réduire
et le regroupement des termes redondants (du style cos(T) et cos(-T)) nécessite la distinction de parité
Arianal @ 20-05-2020 à 18:09
D'accord j'ai compris!
merci pour votre temps! et vos explications!
D'accord j'ai compris!
merci pour votre temps! et vos explications!
pas de quoi... un plaisir
verdurin @ 20-05-2020 à 18:11
En retard, comme d'habitude
En retard, comme d'habitude
y'en a un qui a dit que l'essentiel est de participer ...
(bonsoir Verdurin)