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Linéarisation des fonctions exponentielles

Posté par
sandrine29 05-09-12 à 21:01

Bonjour,
j'ai un exercice sur la linéarisation des fonctions exponentielles mais on n'a pas fait de cours la dessus... alors je ne comprend rien!

Voila l'énoncé:

1- Soit y=A.e^{ax} avec A,a et x >0
a) donner les expressions ln y et log y

j'ai trouvé: ln y= ln A - ax  et log y = log A - \frac{ax}{ln 10}

et c'est tout le reste que je ne comprend pas...
b)procéder à un changement de variable pour faire apparaitre des fonctions simples
c)calculer la période de décroissance ou demi-vie

2-par un procédé équivalent, linéariser les fonctions y=f(x) suivantes:
y=1-e^{-x}
y= \frac{x²}{3}

Voilà!
Si quelqu'un a compris sa serait gentil de m'expliquer qu'est-ce que je dois faire et comment le faire ^^
Merci d'avance!

Posté par
verdurinre : Linéarisation des fonctions exponentielles 05-09-12 à 21:49

Bonsoir,

Citation :
j'ai trouvé: ln y= ln A - ax  et log y = log A - \frac{ax}{ln 10}

Tu as malheureusement mis des signes - à la place de signes +

Si y=A.e^{ax} alors \ln y = ln A + ax

Le changement de variable est évident (pour un matheux) : on pose z=\ln y et on a z = ln A + ax Ce qui est beaucoup plus simple que la fonction de départ.

Pour y=1-e^{-x} on peut remarquer que c'est équivalent à y+1=\text{e}^{-x} et appliquer la méthode précédente.

Pour y= \frac{x^2}{3} en passant aux logarithmes on a \ln y= 2\ln x -3
et je te laisse méditer sur un changement de variable qui permettrai d'obtenir une expression de la forme u=mv+p

Posté par
LeDinore : Linéarisation des fonctions exponentielles 05-09-12 à 21:54

Citation :
Soit : y = A.e^{ax}  avec : A, a et x > 0

Lny = LnA + Lne^{ax} = LnA + ax

Citation :
b)procéder à un changement de variable pour faire apparaitre des fonctions simples

Tu poses :   Y = Lny   et  b = LnA Il en découle :  Y = ax + b
Y = Ln(y) est alors une fonction linéaire de x : tu as "linarisé y".

Citation :
Calculer la période de décroissance ou demi-vie

La demie vie est la valeur x* qui ajoutée à x fait diviser y par 2 :
f(x+x*) = f(x)/2  quel que soit x.
C'est valable avec un a>0, et une expression y = A.e-ax.
Et dans ce cas : la demie vie vaut x* = a/2

Citation :
y = 1 - e-x

Poser :   Y = Ln(1 - y) = ...

Citation :
y=x²/3

Poser :   Y = (3y) = ...

Posté par
LeDinore : Linéarisation des fonctions exponentielles 05-09-12 à 21:56

Bonsoir verdurin.
Je suis d'accord avec toi. Mais c'est trop tard ...

Posté par
sandrine29re : Linéarisation des fonctions exponentielles 06-09-12 à 10:25

Merci de vos réponses!

en fait j'ai fait une petite faute de frappe désolée pour la 1 c'est y=Ae^{-ax}

1-c) je crois avoir compris merci!
j'ai donc posé que
à t, f(t)=Ae^{-ax}
à t+T, f(t+T)=Ae^{-a(t+T)}

et d'après ce que vous avez dit:
f(t+T)=\frac{f(t)}{2}
Ae^{-a(t+T)}=\frac{Ae^{-ax}}{2}

et j'arrive à T=\frac{ln2}{a}

2- pour y=1-e^{-x}
en passant à ln ça ne fait pas de forme Y=ax+b

pour y=\frac{x²}{3}
en passant à ln je trouve:
lny=ln(\frac{x²}{3})
lny=ln(x²)-ln3
lny=2lnx-ln3
et la je pose lny=Y mais je n'arrive pas à avoir Y=ax+b parce que je vois pas comment sortir le x de ln...

Posté par
LeDinore : Linéarisation des fonctions exponentielles 06-09-12 à 10:29

Citation :
y=x²/3

Poser :   Y = (3y) = ...

Posté par
sandrine29re : Linéarisation des fonctions exponentielles 06-09-12 à 12:39

Jai réussi le premier!

y=1-e^{-x}
y-1=-e^{-x}
1-y=e^{-x}
ln(1-y)=-x
on pose Y=ln(1-y)
et donc Y=-x

Posté par
LeDinore : Linéarisation des fonctions exponentielles 06-09-12 à 13:28

Bravo .
Reste le deuxième...
Il faut trouver une transformation de y qui soit une fonction linéaire de x.
Dès que x est "isolable", c'est très facile de trouver une telle transformation.

Posté par
sandrine29re : Linéarisation des fonctions exponentielles 06-09-12 à 13:55

j'ai compris je crois!
tu dis qu'il faut chercher à isoler x
donc pour y=\frac{x²}{3}
x²=3y
x=\sqrt{3y}
et on pose Y=\sqrt{3y}
donc x=Y

Posté par
LeDinore : Linéarisation des fonctions exponentielles 06-09-12 à 14:35

Voilà. Et on s'évite la migraine ...
Au passage on rappelle bien que y et Y sont dans R+.

Posté par
sandrine29re : Linéarisation des fonctions exponentielles 06-09-12 à 14:40

Merci!

Posté par
LeDinore : Linéarisation des fonctions exponentielles 06-09-12 à 14:45

sandrine,

Linéariser revient à "déformer" l'échelle des y pour la transformer en échelle des Y...
... pour que la courbe (avec y) devienne une droite (avec Y).

Linéariser est intéressant par exemple dans le cas suivant :
Tu postules une relation y=f(x), que tu ne peux pas démontrer mais que tu cherches à prouver comme plausible par un jeu de données expérimentales (xi;yi).
Alors il peut être intéressant de représenter un graphique de Y=g(y) tel que Y=ax+b.
Les points (xi;Yi) devraient alors en principe être "alignés" sur une droite de pente a et d'ordonnée b.
Par simple régression linéaire, tu peux alors tout à la fois évaluer a et b (paramètres éventuels de ta loi empirique), et surtout valider l'hypothèse d'alignement .

Posté par
sandrine29re : Linéarisation des fonctions exponentielles 06-09-12 à 15:31

je crois que dans les exercices suivants c'est sa qu'il faut faire!
est-ce que tu connais par hasard l'interet d'utiliser un quadrillage semilogarithmique, c'est pour representer une droite  d'équation Y=logA+C.t
avec Y=logy et C=a/ln2
(j'ai réussi l'exercice mais je vois pas l'interet de ce quadrillage..)

Posté par
LeDinore : Linéarisation des fonctions exponentielles 06-09-12 à 16:36

Je n'ai jamais utilisé ça, mais je suppose que ça fait tout à la fois :
- linéarisation (vérification du caractère rectiligne du nuage de points),
- détermination des paramètres de la loi (grâce à la pente et l'ordonnée à l'origine, plus les transformations éventuelles liées aux définitions des paramètres),
- détermination de la demie-vie (le temps nécessaire pour diviser la fonction par deux).

Chaque fois que tu as une formulation de type "loi de refroidissement de Newton" (A.e-at), l'utilisation de ce quadrillage sera utile.
La loi de refroidissement de Newton correspond à la courbe de refroidissement d'un corps dans le temps.
C'est aussi la courbe de beaucoup de phénomènes physiques ou chimiques, parce que c'est la résultante d'une équation différentielle de type dy/dt = -ay  (la vitesse de décroissance de la grandeur est proportionnelle à la grandeur elle même).
Tu vas retrouver cette courbe pour la radioactivité ou bien d'autres phénomènes...


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